一道課本習(xí)題的多種解法

李紅葉　鄭杰

學(xué)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，教師應(yīng)深入挖掘教材，通過(guò)課本習(xí)題教學(xué)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)教材，重視教材，深刻領(lǐng)會(huì)編者的意圖，發(fā)揮課本習(xí)題的教育功能。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)這樣一道好題，并對(duì)該題給出多種解法，供參考。

題目 （人教版，選修4—5，26頁(yè)6題）已知f（x）=1+x2，a≠b，求證|f（a）-f（b）|<|a-b|。

證法一（分析法）：含有分式、無(wú)理式、絕對(duì)值式、對(duì)數(shù)式的不等式一般適用于分析法。

要證明|1+a2-1+b2|<|a-b|，

只需證明（1+a2）+（1+b2）-2（1+a2）·（1+b2）

既證明1+ab<（1+a2）·（1+b2）。

①當(dāng)1+ab≤0時(shí)，結(jié)論顯然成立。

②當(dāng)1+ab>0時(shí)，只需證明：

1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2。

既證明2ab

以上各步均可逆，所以原不等式成立。

證法二（綜合法）：

∵a≠b，f（x）=1+x2，

∴|1+a2-1+b2|=|a2-b2|1+a2+1+b2

<|a-b|·|a+b||a|+|b|

<|a-b|·（|a|+|b|）|a|+|b|=|a-b|。

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|。

證法三（比商法）：比較法分為比差法和比商法，含有絕對(duì)值式的、含有指數(shù)式的適用于比商法。

∵a≠b，f（x）=1+x2

仿照證法二可得|1+a2-1+b2||a-b|=|a2-b2||a-b|·（1+a2+1+b2）

<|a+b||a|+|b|≤1。

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|。

證法四（幾何代換法）：能夠表示成“兩點(diǎn)間距離P1P2=（x2-x1）2+（y2-y1）2”公式、“點(diǎn)到直線(xiàn)距離d=|Ax0+By0+C|A2+B2公式”、“兩點(diǎn)斜率k=y2-y1x2-x1公式”形式的問(wèn)題，適用于幾何代換法、解析法。

令點(diǎn)A（1，a），B（1，b），O（0，0），

∵a≠b，則A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，

所以||OA|-|OB||<|AB|，

∴|1+a2-1+b2|<|a-b|，

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|。

證法五（解析法）

∵y=1+x2y2-x2=1，（y>0）表示等軸雙曲線(xiàn)的上支，

而f（a）-f（b）a-b表示該雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)A（1，a），B（1，b）連線(xiàn)的斜率。

而該雙曲線(xiàn)的兩漸近線(xiàn)的斜率為-1和1，（如圖）

∴f（a）-f（b）a-b<1，

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|。

證法六（復(fù)數(shù)代換法）：能夠表示成“兩點(diǎn)間距離P1P2=（x2-x1）2+（y2-y1）2公式”（復(fù)數(shù)的模）形式的問(wèn)題，適用于復(fù)數(shù)代換法。

令z1=1+ai，z2=1+bi，a≠b，（a，b為實(shí)數(shù)）。

則||z1|-|z2||<|z1-z2|，

∴|1+a2-1+b2|<|a-b|，

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|。

證法七（三角換元法）：借助正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性解決問(wèn)題。

令a=tanα，b=tanβ，α，β∈（-π2，π2）且α≠β，

則1+tan2α=secα=1cosα，1+tan2β=secβ=1cosβ。

問(wèn)題變?yōu)樽C明1cosα-1cosβ

采用分析證明，只需證明1-1cosαcosβ<-tanαtanβ，

即證明cosαcosβ+sinαsinβ<1。

即cos（α-β）<1，顯然成立。

證法八（構(gòu)造法）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題。

①不妨令a>b>0，g（x）=1+x2-x，x∈（0，+∞），

則g′（x）=x1+x2-1=x-1+x21+x2<0。

∴g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，

∴1+a2-a<1+b2-b，

即1+a2-1+b2

②同理可證b

③當(dāng)b<0

綜上|1+a2-1+b2|<|a-b|成立。

教材中這樣的題目還有很多，限于篇幅僅舉此例。