初等函數及其連續性 初等函數及其連續性

柴英明

[摘要]本文試圖解決這兩個問題：一方面，初等函數的確切定義是什么；另一方面，初等函數在其定義域內還是其定義區間上連續。

[關鍵詞]初等函數；四則運算；復合運算

1 引 言

在《數學分析》和《高等數學》里都會提到初等函數，初等函數是一個使用頻率很高的概念，很多學者對它進行研究。但這些研究多數只關注初等函數的形式而沒有涉及初等函數的實質，就是到底什么是初等函數沒有說清楚。本文從基本初等函數出發，嚴格討論函數相等與函數運算，給出初等函數的確切定義。初等函數的連續性也是研究比較多的一個內容，主要分歧是在初等函數在其定義域內還是其定義區間上連續。我們在給出初等函數確切定義后，再重新討論初等函數的連續性。

常值函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數，這六類函數稱作基本初等函數。它們在其定義域內都是連續的。這里我們強調：根據函數相等，函數定義域、對應法則都相同函數才相等，所以函數的一部分與原來函數不是同一函數，即基本初等函數的一部分不是基本初等函數。對于“什么是初等函數？”則有點復雜。為了把它說清楚，我們首先從函數的四則運算與復合運算的定義說起。函數的四則運算與復合運算可分為兩種情況討論，即，嚴格的和廣義的。為了敘述方便，記函數y=f（x）的定義域為Df，值域為Rf。

2 嚴格的四則運算與嚴格的復合運算

一般《數學分析》里定義的函數的四則運算和復合運算，我們這里把它稱為嚴格的四則運算與嚴格的復合運算。

定義2。1（嚴格的函數的四則運算） 設函數y=f（x）與y=g（x）的定義域相同，則y=f（x）與y=g（x）的和、差、積、商分別為f（x）+g（x）、 f（x）-g（x）、 f（x）·g（x）、f（x）g（x）（g（x）≠0）。

定義2。2（嚴格的函數的復合運算） 設y=f（x）的定義域包含函數y=g（x）的值域，則稱

y=f[g（x）]

為f與g的復合函數，記作f°g。 對于復合函數y=f[g（x）]也可以寫成y=f（u），u=g（x），其中u叫作中間變量。

通常的初等函數的定義如下。

定義2。3 由基本初等函數經過有限次四則運算和有限次復合而成的函數，叫作初等函數。

3 廣義的四則運算與廣義的復合運算

一般《高等數學》里使用的函數的四則運算和復合運算，我們這里把它稱為廣義的四則運算與廣義的復合運算。

定義3。1（廣義的函數的四則運算） 若函數y=f（x）與y=g（x）的定義域不同，但A=Df∩Dg≠，那么將限制在A上的y=f（x）與y=g（x）的四則運算稱為廣義的四則運算。即f（x）+g（x）定義為f（x）+g（x），（x∈A）。

定義3。2（廣義的函數的復合運算） 若y=g（x）的值域Rg不含在y=f（x）的定義域Df里，但Rg∩Df≠，不妨記B={x|g（x）∈Rg∩Df}，那么將限制在B上的y=f（x）與y=g（x）的復合運算稱為廣義的復合運算。即f°g（x）定義為y=f（x）與y=g（x），（x∈B）的復合。

定義3。3 由基本初等函數經過有限次廣義的四則運算和有限次廣義的復合而成的函數，叫作初等函數。

按此定義y=lnx就是初等函數，它是y=x和y=lnx廣義復合而成。

接下來我們約定初等函數就是指按定義3。3定義的函數。下面討論初等函數的連續性。

4 初等函數連續性

首先，不論是在《數學分析》還是在《高等數學》里都有經典的結論，連續函數按照嚴格的四則運算與嚴格的復合運算都是連續的。

定理4。1 如果f（x）和g（x）都在點x0處連續，則它們嚴格的和f（x）+g（x）、差f（x）-g（x）、積f（x）g（x）、商f（x）[]g（x）（g（x）≠0）在點x0處連續。

定理4。2 如果函數u=φ（x）在點x0處連續，且u0=φ（x0），而函數y=f（u）在點u0連續，則嚴格復合函數y=[φ（x）]在點x0處連續。

其次，我們指出連續函數按照廣義的四則運算與廣義的復合運算也是連續的。

定理4。3 如果f（x）和g（x）都在點x0處連續，則它們廣義的和、差、積、商在點x0處連續。

證明：如果f（x）和g（x）都在點x0處連續，則x0∈Df且x0∈Dg，即x0∈Df*g，其中*代表廣義的和、差、積、商。再根據定理4。1，f*g在x0處連續。

定理4。4 如果函數u=φ（x）在點x0連續，且u0=φ（x0），而函數y=f（u）在點u0連續，則廣義復合函數y=[φ（x）]在點x0連續。

證明：如果函數u=φ（x）在點x0連續，且u0=φ（x0），而函數y=f（u）在點u0連續，則x0∈Df°g，其中復合°代表廣義的復合。再根據定理4。2，f°g在x0處連續。

根據定理4。3、4。4，我們得到初等函數在其定義域內都是連續的。但初等函數的定義域可能是一些孤立點，比如：y=cosx-1是初等函數，它的定義域是一些孤立點x=2kπ，k∈Z。從拓撲學的角度看，這不影響連續性，但很多《高等數學》包括《數學分析》都沒有定義孤立點的連續性。由此，我們只強調初等函數在它們的定義區間內是連續的。

定理4。5 初等函數在它們的定義區間內是連續的。

因為符號函數y=sgnx=1，0，-1， x>0，x=0，x<0，在定義區間內不連續，所以符號函數不是初等函數。但這不表示分段函數都不是初等函數，絕對值函數y=|x|=x，-x， x≥0，x<0，可以由y=u，u=x2復合得到，故絕對值函數是初等函數。