Max珄a，b…}和玬in珄a，b…}型函數解法探析

楊秦飛 　王秋月

[摘要]本文主要給出近幾年高考中出現的一類新函數f（x）=max{h（x），g（x）…}或f（x）=min{h（x），g（x）…}的本質及解法探究，以為中學解題教學提供一種學習方式和研究手段。

[關鍵詞]分段函數；高考解題

一、問題提出

分段函數是高中數學函數部分的一個重點，也是歷年高考考察的重點之一。在2013年之前的分段函數考察，主要以f（x）=h（x），x>ag（x），x≤a這種形式出現，從2013年開始出現了另一種“新型分段函數”，這種函數以另一種方式呈現出來，即f（x）=max{h（x），g（x）…}或f（x）=min{h（x），g（x）…}，那么針對此類函數它是怎么產生的？我們怎么來求解這類函數呢？

二、分段函數的定義

1。“代數”角度

一般意義上，我們把在函數定義域內，在不同區間上的具有不同的對應關系（函數表達式）的函數叫做分段函數。一般情況我們將其記作：f（x）=

t（x），x∈（a，b）

h（x），x∈（b，c）

g（x），x∈（c，d）

…

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從圖形的角度來理解，就是同一函數，在不同的區間上面對應的函數圖像不滿足同一函數表達式，而是根據區間的不同，對應不同的圖像滿足不同的解析式。

圖 1例如函數（1）、f（x）=

log1[]2x，x≥1，

2x，x<1等等作出（1）的函數圖像如圖2：（1）圖我們可理解為f（x）截取的是y1=log12x和y2=2x兩個函數的不同部分而合成的函數。當x≥1時，f（x）取y1=log12x和y2=2x較小的，即最下面的圖像；當x<1時，f（x）取y1=log12x和y2=2x較大的，即最上面的圖像。

在以上（1）圖中，結合其解析式，我們可以用另一種方式來呈現其解析式：

f（x）=log1[]2x，x≥1，

2x，x<1

f（x）=max2x，log1[]2x，x≤1

min2x，log1[]2x

，x>1

類似的，我們就可以讓所有的分段函數，通過f（x）=max{h（x），g（x）…}或f（x）=min{h（x），g（x）…}來表示，這也就產生了我們這里所謂的“新型分段函數”。

三、新型分段函數本質介紹及解法

通過上面的介紹我們已經知道“新型分段函數”其本質是分段函數，只是我們將原分段函數中每一解析式對應函數圖像全部作出，再根據不同區間對應的不同圖像的相對位置，通過max{a，b…}和min{a，b…}呈現出來。

圖 2例 函數f（x）=-x，-2

g（x）=x2-2下面分別作出h（x）=-x，g（x）=x2-2的函數圖像，如圖2。

當x∈（-2，1）時，f（x）的圖像取得是該區間所對應全部圖像的最上面（最大）那一條，即f（x）=h（x）=-x；

當x∈（-∞，-2]∪[1，+∞）時，f（x）的圖像取得也是該區間所對應全部圖像的最上面（最大）那一條，即f（x）=g（x）=x2-2。從而作出f（x）圖像。

圖 3如圖3所示；因此我們就可給出f（x）的另一呈現形式：

f（x）=-x，-2

x2-2，x≥1或x≤-2f（x）=max{x2-2，-x}。

這里知道了f（x）=（max）/（min）{h（x），g（x）…}的產生

過程，下面來看看其此類題解法：

①在整個定義域內作出（max）/（min）{h（x），g（x）…}中h（x），g（x）…的所有函數圖像。

②在作出的h（x），g（x）…函數圖像后：若原函數是max{h（x），g（x）…}，則取h（x），g（x）…函數圖像中，每段相對位置位于最上方的一段；若原函數是min{h（x），g（x）…}，則取h（x），g（x）…函數圖像中，每段相對位置位于最下方的一段。

③由②給出了（max）/（min）{h（x），g（x）…}的圖像，那么這里就根據每一段的圖像給出（max）/（min）{h（x），g（x）…}的解析式，并可結合圖像得出單調性，奇偶性以及周期性和最值問題。

通過對本類題的探討也給我們中學解題教學提供一定的方向，即注意培養學生對每一知識可以怎樣變化，可以和哪些板塊知識聯系起來等等相關能力，這才是避免當前中學教學中題海戰術的有效方法。

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