分段函數在分段點求導的討論

薛秋

[摘要]分段函數在分段點的求導問題，現行的電大教材中很少提及，為了幫助電大學生了解這部分內容，本文就此談談相關內容。

[關鍵詞]高等數學；分段點；導數

在高等數學中，分段函數是經常遇到的函數，面對分段函數在分段點的導數，現行電大教材中很少提及。為了拓寬電大學生的視野，從而進一步提高電大學生分析問題與解決問題的能力，本文就分段函數在分段點的求導問題作一些粗淺的討論。

一、利用導數的定義求導

方法：若f（x）在點x0處連續，且利用導數定義可以求出f′+（x0）及f′-（x0）（或直接求出f′（x0）），此時如果f′+（x0）=f′-（x0），則f（x）在點x0處可導，且f′（x0）=limx→x0f（x）-f（x0）x-x0。

例1 設f（x）=1-x，x≤0，e-x，x>0，求f′（0）。

解 因f（x）在點x=0處連續，且由導數定義可以求出：

f′+（0）=limx→0+f（x）-f（0）x-0=limx→0+e-x-1x=-limx→0+e-x=-1，

f′-（0）=limx→0-f（x）-f（0）x-0=limx→0-（1-x）-1x=-1，

因f′+（0）=f′-（0）=-1，所以f′（0）=-1。

二、利用導數極限法求導

方法一：利用以下定理：

定理 若f（x）在[x0，x0+δ]上連續，在（x0，x0+δ）內可導，且limx→x+0f′（x）存在，則f′+（x0）=limx→x+0f（x）。

方法二：利用以下推論：

推論 設f（x）在點x0處連續，在點x0處的某去心領域內可導，且limx→x0f′（x）存在，則f′（x0）=limx→x0f′（x）。

在導數極限法中，當limx→x+0f′（x）=∞，limx→x-0f′（x）=∞，limx→x0f′（x）=∞時，定理及推論的結論依然成立。

導數極限法表明，對于分段函數在分段點的某一δ領域內連接，去心δ領域內可導，則如果分段函數在分段點一側的導數極限存在時，可用定理求出單側導數，而不需要用導數的定義求出單側導數；如果分段函數在分段點兩側的導數極限存在時，可用定理求出雙側導數，而不需要用導數的定義求出雙側導數；如果分段函數在分段點兩側的導數極限存在且相等時，則由推論可得f′（x0）=limx→x0f′（x）。

在通常情況下，分段函數在分段點兩側的導數是比較容易求出的，因此用導數極限法求分段點的導數比直接用導數的定義求分段點的導數方便的多。

例2 設f（x）=x2，x≤1，2x-1，x>1，求f′（1）。

解 因f（x）在點x=1處連續，且f′（1）=2x，x<1，2，x>1。

而limx→1+f′（x）=limx→1+2=2，limx→1-f′（x）=limx→1-2x=2。

由導數極限法可得，

f′+（1）=limx→1+f′（x）=2，

f′-（1）=limx→1-f′（x）=2，

故f′（1）=2。

例3 設f（x）=e-1x2，x≠0，0，x=0，求f′（0）。

解 因f（x）在點x=0處連續，且

limx→0f′（x）=limx→0e-1x2·（2x-3）=0，

由導數極限法可得： f′（0）=limx→0f′（x）=0。

[參考文獻]

[1]趙樹姬。微積分學習與考試指導[M]。北京：中國人民大學出版社，1998（10）。

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