導數和積分綜合應用的一個例析
2016-05-14 11:04:58楊明珠
數學學習與研究 2016年5期
楊明珠
例 求函數y=x3-x2-x+1與x軸所圍或圖形的面積。
解析 （1）作函數f（x）=x3―x2―x+1的圖形，
f′（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1），
f″（x）=6x-2=2（3x-1）。
令f′（x）=0，得x=-1[]3和x=1。
令f″（x）=0，得x=1[]3。
x-1，-1[]3
-1[]3
-1[]3，1[]3
1[]3
1[]3，1[]1[]
（1，+∞）
f′（x）
+
0
-
-
-
0
+
f″（x）
-
-
-
0
+
+
+
極大
拐點
極小
當x→+∞時 y→+∞ 當x→-∞ y→-∞
得f-1[]3=32[]27，f1[]3=16[]27，f（1）=0。
從而得函數y=x3―x2―x+1圖形上的三個點
-1[]3，32[]27，1[]3，16[]27，（1，0）。
畫出函數y=x3―x2―x+1的圖形如下：
（2）求函數y=x3―x2―x+1與x軸所圍圖形的面積
S=∫1-1（x3-x2-x+1）dx
=∫1-1x3dx-∫1-1x2dx-∫1-1xdx+∫1-1dx
=-2∫10x2dx+∫1-1dx=-2[]3+2=4[]3。
[參考文獻]
[1]同濟大學數學系。高等數學[M]。北京：高等教育出版社，2014。7。
[2]吳贛昌。微積分[M]。北京：中國人民大學出版社，2011。4。
