利用函數的性質劃分矩陣

杜先云 任秋道

[摘要]對事物進行分類是重要的數學方法。本文不利用等價關系對矩陣進行分類，而利用函數的性質對矩陣直接進行劃分。

[關鍵詞]劃分；矩陣；函數

[基金項目]四川省教育廳自然科學基金（12114931）的資助。

一、引 入

分類方法是研究事物性質的重要方法。如何對事物進行分類？通常利用事物之間的等價關系來分類：要求同類事物之間具有自反性質、對稱性質和傳遞性質。然而我們驗證某些事物之間具有傳遞性質往往比較困難，因此采用直接對事物進行分類。引入劃分的定義如下：

定義1 設U為非空集合，U的子集族π是由U的子集構成的集合，滿足條件：（ⅰ）空集不屬于π；（ⅱ）x，y∈π，當x≠y時，x∩y=；（ⅲ）∪π=U，則稱π是U的一個劃分，稱π中的元素為U的劃分塊。

我們利用等價關系對集合U進行分類——等價類，而集合U的劃分與集合U的等價關系有一一對應關系。一般《高等代數》教材，只涉及了矩陣的等價關系，而沒有對矩陣進行分類。然而對事物進行分類是重要的數學方法。本文，我們不使用等價關系，利用函數的性質對矩陣直接進行劃分。

二、矩陣的劃分

設Fm×n為數域F上m行n列矩陣的全體。我們定義Fm×n上的一個變換：

定理1 存在一個變換f：Fm×n→Fm×n，使得A∈Fm×n。（1）當r

證明 利用初等變換：互換變換、倍法變換、消去變換，將矩陣A變成與之相抵的矩陣，在相抵關系下矩陣A的標準型簡記為Er000。

事實上，存在一些初等矩陣Pi，Qj，i=1，2，…，s，j=1，2，…，t，使得

Ps…P2P1AQ1Q2…Qt=Er000。因此，我們定義一個映射A∈Fm×n，（1）當r

顯然，除了零矩陣對應零矩陣外，其余均是多個矩陣對應一個矩陣的映射，也不是滿映射。同時，我們也得到另一個映射g：Fm×n→N，g（A）=r，其中r是矩陣A的秩。

定理2 對于A∈Fn×n，則有 f2（A）=f（A）。

根據定理1，容易得到定理2。由此可得：對于A∈Fn×n，k∈N+，有fk（A）=f（A）。因此，f是冪等變換。矩陣的許多性質都有冪等變換f有聯系。

定理3 設映射g（A）=r，其中r是矩陣A的秩。Fm×n的一個劃分為：（1）當m≤n時，Fm×n=∪mr=0g-1r； （2）當m>n時，Fm×n=∪nr=0g-1r。

證明 我們對（1）情況進行證明。顯然對于r=0，1，…m，g-1r是表示非空矩陣的集合；如果A∈g-1i∩g-1j，i≠j，i，j=0，1，…m，則有i=g（A）=j，矛盾。根據映射的定義，∪mr=0g-1r=Fm×n。因此，∪mr=0g-1r是矩陣Fn×n的一個劃分。

根據Fm×n中的矩陣進行的這個劃分π可以確定Fm×n上的一個等價關系R：A與B具有等價關系ARB當且僅當A與B在同一個劃塊中。可以證明π導出的等價關系：

R=（0×0）∪（g-11×g-11）∪…∪（g-1r×g-1r）。

其中r=min{m，n}。只要兩個矩陣具有相同的秩，它們就等價。

例1 設A∈Fn×n，且rank（A）=r。 證明： 存在B∈Fn×r，C∈Fr×n，使得A=BC。

證明 存在初等矩陣Pi，Qj，i=1，2，…，u，j=1，2，…，v，使得

Pu…P2P1AQ1Q2…Qv=Er000。

令P=P-11P-12…P-1u，Q=Q-1v…Q-12Q-11。則有

A=PEr000Q

=P′1P′2Er000Er000Q′1Q′2

=P′1Q′1BC。

因此，結論成立。

例2 已知A=213426639，計算A2000。

解 因為矩陣A的秩為1，分解為A=123213，則有

A2=123213123213

=13213123=13A；

A3=A2A=13AA=132A；……；A2000=131999A。

[參考文獻]

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