行列式理論的若干反例研究

丁嘉程

[摘要]高等代數的內容抽象，概念定理多，學習有一定難度。 通過研究“反問題”和構造反例，有利于正確理解掌握概念和定理。 本文對高等代數中行列式理論的若干反問題及反例進行了研究，通過具體的例子說明如何確定命題的真假，并對假命題舉出反例且加以修正，這無疑有利于加深對相關概念與性質的理解。

[關鍵詞]克拉默法則；行列式；矩陣；線性方程組

對于高等代數的學習者來說，對一個錯誤的命題舉出反例，并加以改正，給出嚴格證明，來肯定改正后命題的正確性，是非常必要和重要的一件事情。 同樣地，也可以對原本正確的命題加以改動，例如去掉、增加或變化一些條件，對有關聯的命題進行融合疊加，改動后的命題正確則證明，錯誤則舉出反例。 本文對高等代數中行列式理論的若干反問題及反例進行了研究，通過具體的例子說明如何確定命題的真假，并對假命題舉出反例且加以修正，這無疑有利于加深對相關概念與性質的理解。

例1 根據克拉默法則，有如下結論：若齊次線性方程組的系數矩陣的行列式不等于0，那么它只有零解。 其逆命題為齊次線性方程組只有零解，則方程組的系數矩陣的行列式不等于0。

通過研究發現，這個逆命題是假命題。 即齊次線性方程組只有零解時，方程組的系數矩陣的行列式也可能等于0，反例如下：

設aij全為整數，則方程組

a11x1+a12x2+…+a1nxn=2-1x1a21x1+a22x2+…+a2nxn=2-1x2……an1x1+an2x2+…+annxn=2-1xn

只有零解。 事實上，令

f（λ）=a11-λa12…a1na21a22-λ…a2nan1an2…ann-λ=（-1）nλn+b1λn-1+…+bn-1λ+bn，

則由于aij為整數，故 b1，…，bn-1，bn均為整數。 將原方程組移項后即知，其系數行列式為f（2-1）=（-1）n2-n+b22-n+1+…+bn-12-1+bn，若f（2-1）=0，則由上式得2（b1+2b2+2n-1bn）=（-1）n+1。矛盾！故f（2-1）≠0，從而方程組只有零解。

在這個命題中，并沒有要求這個齊次線性方程組的系數矩陣的行列式不等于0，而用條件系數aij為整數加以限制，同樣得出方程組只有零解。 可見若齊次線性方程組的系數矩陣的行列式不等于0，那么它只有零解的逆命題是錯誤的，必須加上其他條件對其修正后才能得出正確結論。

例2 克拉默法則應用的前提條件為系數矩陣必須為方陣的方程組。 而當對命題條件進行修改，方程組的未知量個數與方程個數不相等時，克拉默法則無法應用，則表示修改后的命題為假命題。 此時，考慮將克拉默法則進行推廣，使其在系數矩陣不為方陣的情況下也適用。 我們給出以下命題：

命題 設A為m×n實矩陣，b為m×1列向量，若R（A）=n，則線性方程組Ax=b與ATAx=ATb均有唯一解，且同解，其解為x=（ATA）-1ATb。

為了證明該命題，首先給出一些結論。

引理1 設A為m×n實矩陣，則線性方程組Ax=0與ATAx=0同解，其中AT是矩陣A的轉置矩陣。

證明 若x滿足Ax=0，則有AT（Ax）=0，即（ATA）x=0；反之，若x滿足（ATA）x=0，則xT（ATA）x=0，即（Ax）T（Ax）=0，而（Ax）T為行向量，Ax為列向量，容易得到Ax=0。 綜上所述，方程組方程組Ax=0與（ATA）x=0同解。

推論2 設A為m×n實矩陣，則R（A）=R（ATA，ATb）=R（AT（Ab））≤R（AT） =R（ATA），其中R（A）是矩陣A的秩。

注意到R（ATA）≤R（ATA，ATb）=R（AT（Ab））≤R（AT）=R（ATA），R（ATA，ATb） =R（ATA），即線性方程組的系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，可得

引理3 設A為m×n實矩陣，b為m×1列向量，則ATAx=ATb一定有解。

根據引理3，容易得到克拉默法則的推廣：

定理4 設A為m×n實矩陣，b為m×1列向量，若R（A）=n，則線性方程組Ax=b與ATAx=ATb均有唯一解，且同解，其解為x=（ATA）-1ATb。

證明 由于A為m×n實矩陣，b為m×1列向量，由引理3可知，（ATA）x=ATb一定有解，由于A為m×n實矩陣，又因為R（A）=n，由推論2知，R（ATA）=R（A）=n，從而ATA可逆，且線性方程組ATAx=ATb均有唯一解，且它的解為x=（ATA）-1ATb。得證。

對于推廣之后的克拉默法則，無論方程的未知量的個數與方程的個數是否相等，均可以將方程的解解出，如

例3 解線性方程組x1+2x2-3x3+2x4=4，2x1-3x2+4x4=9，-x2-2x3+2x4=-4，x1+3x2-2x3+6x4=0，3x1-2x3=-3。

解 在此線性方程組AX=0中，系數矩陣A是5×4型矩陣，且R（A，b）=R（A）=4，所以方程組有唯一解，但系數矩陣不是方陣，故將該線性方程組的求解化為如下線性方程組的求解：ATAX=ATb。故

120132-3-130-30-2-2-22416012-322-3040-1-2113-2630-20x1x2x3x4=120132-3-130-30-2-2-22416049-40-3，

整理得15-1-1116-123-109-11-1021-20169-2057x1x2x3x4=13-15240，解得x1=0。5347，x2=-0。5581，x3=1。0797，x4=1。0186。

值得注意的是，這個推廣的命題必須建立在方程組只有唯一解的情況下應用。若方程組存在無窮多組解，則只能根據方程組的增廣矩陣的秩判斷，不能用克拉默法則去求該方程組的解。

例4 已知行列式具有性質：如果某一行是兩組數的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行以外全與原來行列式對應的行一樣，即a11a12…a1nb1+c1b2+c2…bn+cnan1an2…ann=a11a12…a1nb1b2…bnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnan1an2…ann。

若變化命題，改為某兩行分別是兩組數的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這兩行以外全與原來行列式對應的行一樣，即將原來的等式改為a11a12…a1nb1+c1b2+c2…bn+cnd1+p1d2+p2…dn+pnan1an2…ann=a11a12…a1nb1b2…bnd1d2…dnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnp1p2…pnan1an2…ann，則命題錯誤，舉反例如下：

12342+22+33+44+51+13+21+31+26145=-22，

1234223413116145+1234234512326145=-4-16=-20，

命題錯誤。修改可得正確命題，當某兩行分別是兩組數的和時，這個行列式就等于四個行列式的和，而這四個行列式除這兩行以外全與原來行列式對應的行一樣，且等式如下：

a11a12…a1nb1+c1b2+c2…bn+cnd1+p1d2+p2…dn+pnan1an2…ann=a11a12…a1nb1b2…bnd1d2…dnan1an2…ann+a11a12…a1nb1b2…bnp1p2…pnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnd1d2…dnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnp1p2…pnan1an2…ann。

在行列式的學習中，我們學習了許多有關行列式的性質，若對概念一知半解，則極易造成知識點的混淆，把各類性質的條件結論混用、記錯、顛倒。此時，除了對性質、定理等進行嚴格的證明，我們還應對可能會出現的混用情況給出簡單、易于記憶的反例，從而加深理解。

例5 對于命題：若方程組a11x1+a12x2+…+a1n-1xn-1=b1，a21x1+a22x2+…+a2n-1xn-1=b2，…an1x1+an2x2+…+ann-1xn-1=bn。

有解，且方程的增廣矩陣=a11…a1n-1b1an1…ann-1bn為方陣，則有=0，但反之不成立。請證明原命題，并對其逆命題舉出反例。

證明 由于方程組有解，所以根據線性方程組有解判別定理可知，秩=秩A。由題，A為n×（n-1）矩陣，則秩A≤n-1，即秩≤n-1。而為n×n矩陣，所以=0，命題得證。但命題反之不成立，反例如下：

對于方程組x1+2x2=3，2x1+4x2=1，x1+2x2=3，有=123241123=0，但顯然對于方程組，秩=2，秩A=1，秩≠秩A，方程組無解。

[參考文獻]

[1]北京大學數學系前代數小組編。高等代數（第四版）[M]。北京：高等教育出版社，2013。8。

[2]北京大學數學系前代數小組編。高等代數習題詳解（第四版）[M]。北京：高等教育出版社，2013。8。

[3]胡崇慧。代數中的反例[M]。西安：陜西科學技術出版社，1986。6。