微分中值定理的幾個(gè)特殊應(yīng)用

鄭錦龍　鄭蒼松　郭召　馬瑞丹　王珊珊

[摘要]微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的地位非常重要，很多重要定理的證明都要借助其來(lái)完成。本文分別給出了微分中值定理在級(jí)數(shù)收斂性的判別及恒等式的證明中的幾個(gè)特殊應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]中值定理；級(jí)數(shù)收斂性；恒等式

一、預(yù)備知識(shí)

定理1（拉格朗日中值定理） 如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得

f（a）-f（b）=f′（ξ）（b-a）

成立。

定理2（柯西中值定理） 如果函數(shù)f（x），g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，并且g′（x）≠0，那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ξ）g′（ξ）成立。

二、微分中值定理的幾個(gè)特殊應(yīng)用

1。在級(jí)數(shù)收斂性判別中的應(yīng)用

級(jí)數(shù)收斂性的判別方法有很多種，但是對(duì)于一些復(fù)雜的級(jí)數(shù)收斂性問(wèn)題，需要結(jié)合中值定理的相關(guān)知識(shí)才能解決，下文給出了具體的例子進(jìn)行了說(shuō)明。

例1 設(shè)f（x）在（-∞，+∞）上可微，并且對(duì)任意的x∈（-∞，+∞）有f（x）>0，|f′（x）|≤θ|f（x）|，其中θ∈（0，1）。任取a0∈R，定義：

an=lnf（an-1），（n=1，2，…）。

證明：級(jí)數(shù)∑∞i=1|an-an-1|收斂。

證明 由于f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)可微，則

|an+1-an|=|lnf（an）-lnf（an-1）|=|f′（ξ）||f（ξ）||an-an-1|。

其中ξ介于an與an-1之間，因此，有an+1-an|an-an-1|=|f′（ξ）||f（ξ）|。

又因?yàn)橛深}設(shè)條件可知|f′（x）|≤θ|f（x）|，其中θ∈（0，1）。

所以，|an+1-an||an-an-1|=|f′（ξ）||f（ξ）|≤θ|f（ξ）||f（ξ）|=θ<1。

綜上所述，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的達(dá)朗貝爾判別法知：級(jí)數(shù)∑∞i=1|an-an-1|收斂。

2。在恒等式證明中的應(yīng)用

恒等式的證明一般比較難、技巧性比較強(qiáng)，有些恒等式的證明需要多次利用中值定理。還有一些證明需要先構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用中值定理進(jìn)行證明，下文給出了恒等式證明中的兩個(gè)特殊應(yīng)用。

例2 設(shè)f（x）在[a，b]，（a>0）上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可微，且f′（x）≠0。證明：

存在點(diǎn)ξ，η，ζ∈（a，b），使得f′（ξ）f′（ζ）=ηξ。

證明 由題設(shè)條件易知f（x）及l(fā)nx在區(qū)間（a，b）上滿足柯西中值定理的條件，因此，有

f（a）-f（b）lna-lnb=f′（ξ）1ξ，ξ∈（a，b）（1）

對(duì)（1）式等號(hào)左邊分子、分母分別用拉格朗日中值定理，得：

f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a），其中ζ∈（a，b）（2）

ln（b）-ln（a）=1η（b-a），其中η∈（a，b）（3）

將（2）、（3）式都代入（1）式，化簡(jiǎn)、整理，得：

f′（ζ）1η=f′（ξ）1ξ（4）

所以，由（4）化簡(jiǎn)得：f′（ξ）f′（ζ）=ηξ。

例3 若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)（a，b）可微，且f（a）=f（b）=1，則存在ξ，η∈（a，b），使得eξ-η[fn（ξ）+nfn-1（ξ）f′（ξ）]=1，其中n為正整數(shù)。

證明 令F（x）=exfn（x），G（x）=x，易知F（x），G（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可微且G′（x）=1≠0，G（a）≠G（b），由柯西中值定理得：

存在ξ∈（a，b）使得F（a）-F（b）G（a）-G（b）=F′（ξ）G′（ξ），即有

ebfn（b）-eafn（a）b-a=neξfn-1（ξ）f′（ξ）+eξfn（ξ）1（5）

由題設(shè)條件知f（a）=f（b）=1，將其代入（5）式得：

eb-eab-a=eξ[fn（ξ）+nfn-1（ξ）f′（ξ）]（6）

因?yàn)閑x在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，則存在η∈（a，b）使得

eb-ea=eη（b-a），從而eη=eb-eab-a，將其代入（6）式得：

eη=eξ[fn（ξ）+nfn-1（ξ）f′（ξ）]。

所以，eξ-η[fn（ξ）+nfn-1（ξ）f′（ξ）]=1。

[參考文獻(xiàn)]

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。數(shù)學(xué)分析[M]。北京：高等教育出版社，1991。

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