關于一道因式分解題的課堂教學研究

楊娟

[摘要]本文通過對一道多項式因式分解題的課堂教學，從而歸納出在復數范圍內多項式因式分解的簡單規律，對教學具有一定的啟發。

[關鍵詞]多項式；因式分解；課堂教學研究

[基金項目]凱里學院2014年重點學科（KZD2014004），貴州省高等學校省級教學團隊項目（2012426），貴州省卓越教師教育培養計劃（數學與應用數學）。

引 言

關于在復數范圍內多項式因式分解問題，有如下定理成立：

定理 任何一個復系數一元n次多項式f（x）有且僅有n個一次因式x-xi

（i=1，2，…，n），把其中相同因式的積用冪表示后，

f（x）=an（x-x1）k1（x-x2）k2……（x-xm）km。

其中k1，k2，…，km∈N+，且k1+k2+…+km=n，復數x1，x2，…，xm兩兩不相等，x-xi（i=1，2，…，n）為f（x）的ki重一次因式。

對于因式分解的方法有很多種，比如：提取公因式法、分組分解法、應用公式法、十字相乘法、添項拆項法[2]。這些方法在使用過程中，有些簡便易懂，有些需要一定的技巧性。本文僅以添項拆項法為例，研究利用這種方法在使用過程中的關鍵之處。

1。添項拆項法

利用添項拆項法進行多項式因式分解，需要很強的技巧性。因為在解題過程中，需要拆哪幾項，添加什么項，或者說如何拆分，如何添加，并沒有一定的規律可循，主要在于觀察題目中的各項之間的關系，根據每一項的系數和次數來確定如何正確使用添項拆項法[3]。因此，可以說添項拆項法是多項式因式分解中技巧最強的方法之一，最能考查學生能力。

2。因式分解實例

在教學過程中，我給學生布置一道多項式因式分解的作業題，對于使用添項拆項法時，

學生在作業中展現了三種不同的方法。然后，在講解作業題目時，通過課堂激發學生興趣，學生又產生了幾種其他的方法，現將這些方法歸納如下：

方法一 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+4x3-8x2-x2-x+2

=4x2（x2+x-2）-（x2+x-2）

=（4x2-1）（x2+x-2）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法二 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+4x3-x2-8x2-x+2

=（4x4-x2）+（4x3-x）-（8x2-2）

=x2（4x2-1）+x（4x2-1）-2（4x2-1）

=（4x2-1）（x2+x-2）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法三 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+8x3-4x3-8x2-x2-2x+x+2

=4x3（x+2）-4x2（x+2）-x（x+2）+（x+2）

=（x+2）（4x3-4x2-x+1）

=（x+2）[4x2（x-1）-（x-1）]

=（x+2）（x-1）（4x2-1）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法四 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4-4x3+8x3-8x2-x2-x+2

=4x3（x-1）+8x2（x-1）-（x-1）（x+2）

=（x-1）（4x3+8x2-x-2）

=（x-1）[4x2（x+2）-（x+2）]

=（x-1）（x+2）（4x2-1）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法五 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4-4x2+4x3-4x2-x2-x+2

=4x2（x2-1）+4x2（x-1）-（x2+x-2）

=4x2（x+1）（x-1）+4x2（x-1）-（x-1）（x+2）

=4x2（x-1）（x+2）-（x-1）（x+2）

=（x-1）（x+2）（4x2-1）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法六 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+4x3-4x2-x2-x+1-4x2+1

=4x2（x2+x-1）-（x2+x-1）-（4x2-1）

=（x2+x-1）（4x2-1）-（4x2-1）

=（4x2-1）（x2+x-2）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法七 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+10x3-6x3+4x2-15x2+2x2-6x+5x+2

=（4x4+10x3+4x2）-（6x3+15x2+6x）+（2x2+5x+2）

=2x2（2x2+5x+2）-3x（2x2+5x+2）+（2x2+5x+2）

=（2x2+5x+2）（2x2-3x+1）

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）。

方法八 4x4+4x3-9x2-x+2

=4x4+4x3+x2-10x2-x+2

=x2（4x2+4x+1）-（10x2+x-2）

=x2（2x+1）2-（2x+1）（5x-2）

=（2x+1）[x2（2x+1）-（5x-2）]

=（2x+1）[2x3+x2-3x-2x+2]

=（2x+1）[（2x3+x2-3x）-（2x-2）]

=（2x+1）[x（2x+3）（x-1）-2（x-1）]

=（2x+1）（x-1）[2x2+3x-2]

=（2x+1）（2x-1）（x+2）（x-1）

3。總 結

對于在復數范圍內，利用添項拆項法分解因式的關鍵是提取公因式，并且第一步的提取公因式至關重要，它決定著應該如何拆項、添項，拆哪些項，添加什么樣的項。

（1） 當一個多項式分解成若干個一次因式的乘積，如果一次有理因式的個數越多，那么分解因式的方法也相對越多。對于上面例題，我們第一步可以提取（2x+1）、（2x-1）、（x+2）、（x-1）中的任何一個作為公因式，也可以通過添項拆項提取其他因式作為公因式，所以分解的方法相對較多。反之，如果分解后無理因式或復數因式比較多，那么分解的方法就相對減少。比如，對于x3-8x+8=（x-2）（x+1-5）（x+1+5）來說，在分解因式的過程中，我們通過添項拆項，第一步通常提取（x-2）作為公因式，對于x+1-5和x+1+5中的任何一個因式，很難通過添項拆項作為公因式進行提取，因此分解因式的方法相對較少。

（2） 如果多項式的次數越高，分解因式的方法也相對越多。比如4x4+4x3-9x2-x+2和x3-8x+8相比較，在分解因式的過程中，前者項數比較多，因此添項拆項的方法也比較多。反之，后者由于項數較少，因此分解因式的方法也比較少。

[參考文獻]

[1]何麗亞，汪海洋，謝燕。數學[M]。西南交通大學出版社，2013。

[2]潘偉云。多項式因式分解的探討[J]。呂梁教育學院學報，2015，32，（1）：97-98。

[3]畢嚴河。因式分解的方法技巧匯總[J]。科技視界，2014：277-279。