利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分

朱永婷　王樺

[摘要]為了簡化重積分的運(yùn)算，考慮到積分區(qū)域的對(duì)稱性，依據(jù)被積函數(shù)的奇偶性，介紹利用對(duì)稱性計(jì)算重積分的方法，并借助實(shí)例說明其應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]奇偶性；對(duì)稱性；二重積分

重積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是每屆學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。現(xiàn)有的教材給出了通用的計(jì)算方法，化重積分為累次積分，但對(duì)大多數(shù)初學(xué)者來說，它的計(jì)算是令人頭疼的事情。如果把重積分的計(jì)算與對(duì)稱性相結(jié)合，會(huì)大大的減小計(jì)算量，降低計(jì)算難度。本文突破教材，從對(duì)稱性角度出發(fā)，介紹一種行之有效的簡便計(jì)算方法。

在定積分的計(jì)算中，我們有對(duì)稱性區(qū)間上偶倍奇零的結(jié)論，即：

設(shè)f（x）在[-a，a]上連續(xù)，

①若f（x）為偶函數(shù)，則 ∫a-af（x）dx=2∫a0f（x）dx；

②若f（x）為奇函數(shù)，則∫a-af（x）dx=0。

如果我們將一元函數(shù)奇偶性的定義推廣到多元函數(shù)，那么在對(duì)稱域上，重積分是否也有類似的結(jié)論？下面我們以二重積分為例進(jìn)行探討。

（一）多元函數(shù)廣義奇偶性的定義

定義 如果二元函數(shù) z=f（x，y）的定義域是一個(gè)對(duì)稱區(qū)域D（關(guān)于x軸、y軸、直線y=x、原點(diǎn)對(duì)稱），設(shè)A∈D，其對(duì)稱點(diǎn)為A′，若恒有f（A）=-f（A′） （f（A）=f（A′）），則稱 z=f（x，y）是該對(duì)稱區(qū)域上廣義的奇（偶）函數(shù)。為了敘述方便，以后我們統(tǒng)一稱為奇（偶）函數(shù)。

從定義可以看出，二元函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域上奇偶性的判斷，首先在對(duì)稱區(qū)域內(nèi)，尋找相互對(duì)稱的任意兩點(diǎn)A和A′；然后判斷A和A′點(diǎn)處對(duì)應(yīng)函數(shù)值的關(guān)系，若相等則為對(duì)稱區(qū)域上的偶函數(shù)，若相反則為對(duì)稱區(qū)域上的奇函數(shù)。

例1 判斷f（x，y）=sinx+siny在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)域上的奇偶性。

解 設(shè)A（x，y）在積分區(qū)域內(nèi)，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為A′（-x，-y），則：

f（A）=f（x，y）=sinx+siny。

f（A′）=f（-x，-y）=sin（-x）+sin（-y）=-（sinx+siny）。

所以f（A）=-f（A′），因此sinx+siny是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)域上的奇函數(shù)。

（2）積分區(qū)域?yàn)閷?duì)稱區(qū)域時(shí)的計(jì)算

定理 若積分區(qū)域D（關(guān)于x軸、y軸、直線y=x、原點(diǎn)對(duì)稱），設(shè)A∈D，其對(duì)稱點(diǎn)為A′，

Df（x，y）dxdy=0f（A）=-f（A′）2D1f（x，y）dxdyf（A）=f（A′）

其中D1表示D位于對(duì)稱軸（點(diǎn)）一側(cè)的部分。

積分區(qū)域D的對(duì)稱性有四種不同的情形，但是只要滿足在對(duì)稱區(qū)域上，被積函數(shù)具有相應(yīng)的奇偶性，就能利用偶倍奇零的原則化簡重積分。

例2 利用對(duì)稱性計(jì)算D（|x|+|y|+sinx+siny）dxdy，其中D為 |x|+|y|≤1所圍平面閉區(qū)域。

解 在對(duì)稱區(qū)域上，函數(shù)的奇偶性不同，所以我們把被積函數(shù)分成兩部分，其中D4代表D在第四象限的部分。

原式=D（|x|+|y|）dxdy+D（sinx+siny）dxdy

=2D1+D4（|x|+|y|）dxdy+0

=4D1（|x|+|y|）dxdy+0

=43。

由此例題說明，利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分可以大大簡化計(jì)算，即節(jié)省了時(shí)間，又提高了正確率。但是在使用的過程中需要注意的兩個(gè)條件，1。積分區(qū)域D具有對(duì)稱性；2。被積函數(shù)f（x，y）在積分區(qū)域內(nèi)具有相應(yīng)的奇偶性。

例3 I=Dx[1+yf（x2+y2）]dxdy，其中D是由y=x3，y=1，x=-1所圍成的平面閉區(qū)域，f為連續(xù)函數(shù)。

解：在積分區(qū)域內(nèi)作輔助線y=-x3，此曲線將積分區(qū)域D分為兩部分D1和D2，D1關(guān)于x軸對(duì)稱，D2關(guān)于y軸對(duì)稱，則

I=D1x[1+yf（x2+y2）]dxdy+D2x[1+yf（x2+y2）]dxdy

=D2xdxdy+0

=25。

從上面的例題不難發(fā)現(xiàn)，在二重積分的計(jì)算中，利用“對(duì)稱區(qū)域上偶倍奇零”的原則，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。同樣，該原則也可以推廣到三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分的化簡計(jì)算上。

[參考文獻(xiàn)]

[1]毛綱源。高等數(shù)學(xué)解題方法歸納[M]。武漢：華中科技大學(xué)出版社，2001。

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系。高等數(shù)學(xué)[M]。北京：高等教育出版社，2007。