培養(yǎng)高中學生的數(shù)學素養(yǎng)

謝寧

數(shù)學素養(yǎng)聽起來好像很深奧、很生疏，其實它時時滲透在我們的日常生活中，如：每天時間上的統(tǒng)籌安排，商場打折信息、家庭投資理財，利潤最大化問題等。那什么是數(shù)學素養(yǎng)？對于數(shù)學素養(yǎng)的解釋，到目前為止還沒有一個嚴格的、統(tǒng)一的定義。有人認為“數(shù)學素養(yǎng)”是在先天基礎(chǔ)上，受后天環(huán)境、數(shù)學教育等影響，所獲得的數(shù)學知識技能、數(shù)學思想方法、數(shù)學能力、數(shù)學觀念和數(shù)學思維品質(zhì)等融于身心的一種比較穩(wěn)定的心理狀態(tài)。用南開大學顧沛教授的話說：“數(shù)學素養(yǎng)”就是把所學的數(shù)學知識都排除或忘掉后剩下的東西。擁有良好數(shù)學素養(yǎng)的人在解決問題時就會有良好的邏輯推理意識和能力，會不自覺地把數(shù)學素養(yǎng)應(yīng)用到其他學科和生活中去。所以數(shù)學它不只是為了解題而存在，它更應(yīng)該是在人們的具體實踐中提高自己的能力與素質(zhì)的一種存在。

高中生的數(shù)學素養(yǎng)包括對數(shù)的敏感度、符號意識和數(shù)學應(yīng)用意識；數(shù)學思維、數(shù)學理解、數(shù)學交流、解決問題四種數(shù)學能力以及數(shù)學價值觀的發(fā)展。下面我從以下三個方面和大家談?wù)勎覍ε囵B(yǎng)高中學生數(shù)學素養(yǎng)的膚淺認識：一、用數(shù)學的視角去認識問題。二、用數(shù)學的方式去思考問題。三、用數(shù)學的方法解決問題。

首先看第一個方面：用數(shù)學的視角去認識問題——數(shù)學意識的培養(yǎng)。

什么是“數(shù)學意識”呢？我們把應(yīng)用數(shù)學的意識和創(chuàng)新意識稱之為數(shù)學意識；也可以說，這是對數(shù)學的一種感覺。舉一個例子，比如兩人約定晚上7：00—8：00見面，并沒有說好具體的時間，但是彼此耐心都有限，都只能等待對方20分鐘，那兩人見面的可能性是多少呢？這時，如果能想到用直角坐標系中的點（x，y）來代表男女兩位到達的時刻，用|x-y|≤20來刻畫等待的時間，用面積的比值來計算這個概率，這就說明這名學生具有很好的數(shù)學意識了。

（一）掌握扎實的基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺思維，提高對數(shù)學的敏感度

愛因斯坦說：“真正可貴的思維是直覺思維。”直覺思維是人腦對事物、問題、現(xiàn)象的某種直接的領(lǐng)悟和洞察的一種思維形式。在教學中，要培養(yǎng)學生的直覺思維能力，首先要求學生必須掌握好扎實的基礎(chǔ)知識，提高學生整體把握知識的能力。打個比方，學生在初中就學習過了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，但是很多學生只是當作一個公式來記憶，從左到右是如何展開的，當遇到從右到左是如何配湊的，很多學困生就是想不到，老師一講解才恍然大悟，所以在高中階段的教學中，一定要讓學生明白公式從左到右，和從右到左都應(yīng)該是你要掌握的技巧，進一步遇到a2+ab+b2=（a+b）2-ab=（a-b）2+3ab=a+b[]22+3[]2b2這樣的問題，才能解決。

（二）加強數(shù)學符號閱讀能力，培養(yǎng)學生的符號意識

簡單地說，“符號”就是某種事物的記號，它采用一一對應(yīng)的方式，把一個復雜的事物用簡單的形式表現(xiàn)出來，它是眾多事物表征抽象概括的結(jié)果。而數(shù)學符號感則是個體理解符號所表示的實際意義，運用符號進行運算和轉(zhuǎn)換，從而借助于符號解決數(shù)學問題。教師在平時的數(shù)學教學中往往只教給學生用符號表達的結(jié)果，而常常忽視了對數(shù)學符號的“最原始”的暗示功能的挖掘，從而導致學生多習慣于停留在數(shù)學符號操作的層面上，而不能達到真正借助于符號揭示其深刻的內(nèi)涵層面。 因此，在數(shù)學教學中要抓住數(shù)學符號創(chuàng)設(shè)的啟發(fā)性原則，注意充分挖掘符號的暗示功能。

我們利用數(shù)學符號的主要作用之一是用高度簡約化的形式語言來表征具體的數(shù)學內(nèi)容。而我們在實際的教學過程中往往會發(fā)現(xiàn)學生的數(shù)學知識過于表面化的現(xiàn)象。例如，學生在學習數(shù)學符號時沒有真正理解數(shù)學符號的意義及其蘊含的思想方法，在記憶時只按照老師的要求進行簡單的機械記憶，記住的僅僅只是幾個抽象的符號而已。比如，學生若不理解三角函數(shù)sin（A+B）的涵義，則類似于sin（A+B）=sinA+sinB的錯誤就有可能發(fā)生。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的主要原因在于學生進行數(shù)學學習時出現(xiàn)了內(nèi)容與形式的脫節(jié)，其實質(zhì)就是簡約化的數(shù)學符號與其所表征的數(shù)學內(nèi)容相脫節(jié)。據(jù)此，在教學時，教師應(yīng)給數(shù)學符號賦予具體的內(nèi)容，要對數(shù)學符號的涵義和實質(zhì)進行深入的分析。盡可能地在實際問題情境中幫助學生理解數(shù)學符號以及表達式、關(guān)系式的意義，進而深刻理解數(shù)學符號所蘊含的思想方法和意義。要始終注重數(shù)學符號的辨析、操作和變換等。

第二個方面：用數(shù)學的方式思考問題——數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。

（一）數(shù)形結(jié)合，化抽象的概念為可以看得見的數(shù)學事實，發(fā)展學生的形象思維

與其他學科相比，數(shù)學具有一個最顯著的特征，許多的定理、公式，都是直接通過觀察圖像得出來的。如一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)和特征，無一不是通過研究圖像得出的。可以說，在數(shù)學中，數(shù)形結(jié)合貫穿了整個教學的始終。因此，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的能力，對于數(shù)學的教學都具有特殊的意義。

著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非。”在解決高中數(shù)學一些問題時，若采用數(shù)形結(jié)合的思想，便可以使抽象的數(shù)學信息、數(shù)量關(guān)系用直觀的幾何圖形形象地表示，從而使復雜的數(shù)學問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到簡便解決數(shù)學問題的目的。

例 若關(guān)于x的方程7x2-（m+13）x+（m2-m-2）=0的兩根x1，x2分別滿足0

解 令f（x）=7x2-（m+13）x+（m2-m-2），其圖像與x 軸交點的橫坐標就是方程 f（x）=0 的解。 由 y=f（x）的右圖可以看出：要使兩根分別在（0，1）和（1，2）內(nèi)，只需f（0）=m2-m-2>0，f（1）=7-m-13+m2-m-2<0，f（2）=28-2m-26+m2-m-2>0同時成立，解得：-2

從上面例題來看，若學生能夠利用數(shù)形結(jié)合思想來解決一些數(shù)學問題，充分地抓住數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，將會收到事半功倍的效果。除此之外，數(shù)形結(jié)合思想在解決解析幾何、立體幾何等問題上仍然可以把復雜的問題簡單化、直觀化。當然，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種十分重要的數(shù)學思想方法，它可以拓寬學生的解題思路，提高他們的解題能力，將它作為知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。

（二）精心組織數(shù)學活動，培養(yǎng)學生的合情推理能力

數(shù)學學習中的合情推理可以理解為依據(jù)已有的數(shù)學題目事實、結(jié)論（定義、公理、定理、已知條件等），結(jié)合自己的數(shù)學知識，融入個人的解題經(jīng)驗、直覺、思維等推測某些數(shù)學問題結(jié)果的推理過程。可以說，數(shù)學命題的形成是以合情推理為基礎(chǔ)的，是數(shù)學解題、設(shè)題過程中的重要環(huán)節(jié)。雖說高中數(shù)學的相關(guān)教學內(nèi)容都是前人所總結(jié)探索出來的，但對于學生來說，且是未知的，需要通過體驗類似的再創(chuàng)造過程來發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識。顯然這一學習過程需要合情推理的應(yīng)用。在數(shù)學學習過程中，合情推理不只可以發(fā)現(xiàn)命題方向，還有助于探索解題思路，其實質(zhì)上是探索、發(fā)現(xiàn)、經(jīng)歷數(shù)學結(jié)論形成的過程，是對學生思維能力的一種培養(yǎng)，符合新課標教學理念。那如何培養(yǎng)學生的合情推理能力呢？

首先要學會觀察。觀察可以調(diào)動學生的各種感官，在已有知識的基礎(chǔ)上產(chǎn)生聯(lián)想，進行合情推理，觀察的結(jié)果直接影響推理的可靠性。所以在教學中要給學生必要的時間和空間進行觀察，引導學生學會有目的地、有序地、全面地對所研究的數(shù)學問題的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)據(jù)特征、圖形特征等信息進行觀察，以達到培養(yǎng)良好的觀察習慣，提高觀察力，發(fā)展合理推理能力的目的。例如，在進行“等比數(shù)列的概念”的教學時，學生對等差數(shù)列的概念和通項公式已經(jīng)掌握得比較熟練，故可以借助等差數(shù)列的知識來引入等比數(shù)列的相關(guān)知識，充分利用合情推理幫助學生形成并牢固掌握概念和有關(guān)公式。

其次，教師進行數(shù)學教學活動時，如果只以教材的內(nèi)容為素材對學生的合情推理能力進行培養(yǎng)，會有一定的局限性。如果能夠緊密結(jié)合學生的生活實際，用學生非常熟悉的生活現(xiàn)象來創(chuàng)設(shè)情境，自然會取得較好的教學效果。如以下典型例題的教學：已知a，b，m∈R+且aa[]b。如此純數(shù)學問題，我們可以增加它的背景，讓它生活化。背景：某班有b個人，a個西瓜，其中人數(shù)比西瓜個數(shù)多，當b個人正要將a個西瓜分來吃時，忽然來了m個人帶來了m個西瓜要求入伙，共同分瓜吃，試問這b個人平均每人分吃的西瓜比以前多了還是少了？簡析：原來每個人吃a[]b（aa[]b。故將此不等式稱作為“分瓜不等式”，既活躍了氣氛，又引入了數(shù)學模型，再轉(zhuǎn)化為“溶質(zhì)[]溶液=濃度”問題，將原來枯燥的數(shù)學式子生活化了，培養(yǎng)了學生合情推理的能力。

最后一個方面：用數(shù)學的方法解決問題——分析問題和解決問題的能力的培養(yǎng)。

高考是注重能力的考試，特別是學生運用數(shù)學知識和方法分析問題和解決問題的能力，更是考查的重點，而高考中的應(yīng)用題就著重考查這方面的能力。數(shù)學是充滿模式的，就解應(yīng)用題而言，對其數(shù)學模式的識別是解決它的前提。由于高考考查的都不是原始的實際問題，命題者對生產(chǎn)、生活中的原始問題的設(shè)計加工使每個應(yīng)用題都有其數(shù)學模型。如2005年天津的“最大視角問題”為解析幾何和米勒定理模型；2008年廣東的“平均綜合費用問題”和2009年湖北“修建圍墻總費用問題”都是均值不等式模型；2010年浙江的“銷售額問題”是一元二次不等式模型；2011年湖南“雨中行走是否跑得越快淋雨就越少問題”實則是分段函數(shù)單調(diào)性模型。在高中數(shù)學教學中，不但要重視應(yīng)用題的教學，同時要對應(yīng)用題進行專題訓練，引導學生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學模型，這樣學生才能有的放矢，合理運用數(shù)學思想和方法分析和解決實際問題。

當然，解決問題的策略是多樣化的，我們要鼓勵學生根據(jù)不同的問題來選擇恰當?shù)姆椒ê筒呗裕⒔鉀Q問題的策略內(nèi)化為個人的數(shù)學素養(yǎng)，成為思考問題的一種習慣。

在社會高度文明的今天，物質(zhì)世界和精神世界只有通過量化才能達到完善的展示，而數(shù)學正是這一高超智慧成就的結(jié)晶，它已滲透到日常生活的各個領(lǐng)域。提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，即提高了學生適應(yīng)社會，參加生產(chǎn)和進一步學習所必須的數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能，這是時代的需要也是學生實現(xiàn)自身價值的需要。作為教育最前線的教師，應(yīng)認清在現(xiàn)代科學中數(shù)學能力、數(shù)學思維的重要性，這種能力不是表現(xiàn)在死記硬背，不光表現(xiàn)在計算能力，而應(yīng)該是一種數(shù)學素養(yǎng)。所以，我們應(yīng)樹立正確的數(shù)學觀、教育觀，在課堂中加強學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，使學生教育成為真正意義上的素質(zhì)教育。