數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)論的類比教學(xué)研究

王宏宇　孟憲吉

[摘要]在數(shù)學(xué)體系里，數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)看似是兩門不同的學(xué)科，但是這兩者之間緊密相聯(lián)。對(duì)兩者之間的聯(lián)系進(jìn)行研究，更好地對(duì)這兩類知識(shí)體系進(jìn)行了解，應(yīng)用類比的方法將二者的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)細(xì)致區(qū)分。由此得出，解決復(fù)變函數(shù)的問(wèn)題時(shí)可將其轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)分析里的解決方法，但由于二者的不同之處，所以在此過(guò)程中要注意二者的不同。在教學(xué)過(guò)程中合理利用二者間的聯(lián)系，以達(dá)到更好地教學(xué)目的。

[關(guān)鍵詞]復(fù)變函數(shù)論；數(shù)學(xué)分析；教學(xué)

[基金項(xiàng)目]遼寧省普通高等學(xué)校本科教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（UPRP20140526）

相對(duì)于數(shù)學(xué)分析而言，復(fù)變函數(shù)是在其之后接觸的課程，是數(shù)學(xué)分析的拓展。二者在很多概念和理論上有共通之處，這就為我們?cè)诮虒W(xué)上提供了很好的便利。我們可以利用二者之間的聯(lián)系，對(duì)復(fù)變函數(shù)論的教學(xué)有一個(gè)更好的切入點(diǎn)。

從總體來(lái)看，數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)最大的區(qū)別就是：數(shù)學(xué)分析所研究的范圍是實(shí)數(shù)，而復(fù)變函數(shù)研究的自變量則是復(fù)數(shù)。單從這一方面來(lái)看，我們可以狹義的認(rèn)為復(fù)變函數(shù)比數(shù)學(xué)分析所適用的范圍要更廣泛。這也正是在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生感到二者之間相似所在。學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)這門課程的同時(shí)更是提升數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)的最好時(shí)段。正是由于實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的拓展，才使得在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能解決的問(wèn)題而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)能用復(fù)數(shù)的理論解決，例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)x2+1=0無(wú)解，但是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)卻有解。這也正是學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)論的用途，同時(shí)這也從側(cè)面反映出數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)論二者的聯(lián)系。

一、相同之處

1。連續(xù)性

復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性與數(shù)學(xué)分析里的函數(shù)連續(xù)性一致，都是說(shuō)在一點(diǎn)的極限值與其函數(shù)值相等。例如，f（x）=sinx在數(shù)學(xué)分析里是連續(xù)函數(shù)；f（z）=sinz在復(fù)變函數(shù)里也連續(xù)。

2。可微性

在鐘玉泉所編撰的《復(fù)變函數(shù)論》一書里，第二章的解析函數(shù)中對(duì)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分的定義與數(shù)學(xué)分析里導(dǎo)函數(shù)的定義形式上相同，都是應(yīng)用極限的思想對(duì)變量比值的極限取值，并且兩者的幾何定義都是一樣的。例如，f（x）=x在數(shù)學(xué)分析里是可微的，f（z）=z。

在復(fù)變函數(shù)里也可微。

二、不同之處

1。自變量

在鐘玉泉所編撰的《復(fù)變函數(shù)論》一書里，從第一章對(duì)復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)介紹的開始所引入的數(shù)域中，對(duì)復(fù)數(shù)的闡述與高中所接觸的知識(shí)重合，其中所涉及的復(fù)數(shù)的模和三角不等式都是我們?cè)诖酥罢f(shuō)接觸過(guò)的。但從數(shù)學(xué)分析的整體來(lái)看，其課程的主要研究范圍是實(shí)數(shù)域，不涉及復(fù)數(shù)域。

2。初等多值函數(shù)

在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中，我們接觸的函數(shù)是單值函數(shù)。而在復(fù)變函數(shù)里，初等多值函數(shù)占據(jù)著舉足輕重的地位，對(duì)應(yīng)關(guān)系是從一個(gè)集合的幾個(gè)元素對(duì)應(yīng)到另一個(gè)集合的多個(gè)元素的問(wèn)題，所以對(duì)于多值函數(shù)的研究是必要的。例如根式函數(shù)w=nz在w平面上是多值函數(shù)，并且不是解析函數(shù)。對(duì)于z=reiθ，ω=nz=nreiθ+2kπn，（k=0，1，…，n-1）。文獻(xiàn)[3]指出，根式函數(shù)w=nz出現(xiàn)多值性的原因是：當(dāng)z確定后，其輔角并不唯一確定。為了得到單值解析分支，將z平面割破，割破的z平面形成了以割線為界的區(qū)域。在此區(qū)域內(nèi)，對(duì)于任意一點(diǎn)的一個(gè)輔角值都可由指定一點(diǎn)的輔角的連續(xù)變化而唯一確定。下面以w=3z為例說(shuō)明。

例： 由w=3z得w3=z，令z=reiθ，則有ρ=3r，3φ=θ+2kπ，其中（k=0，1，…，n-1）

由此可得，φ1=θ3，φ2=θ+2π3，φ3=θ+4π3。

即w1=3reiθ3w2=3reiθ+2π3w3=3reiθ+4π3。

所以，w=3z是多值函數(shù)。

3。復(fù)變函數(shù)的可積性

根據(jù)復(fù)變積分的定義，對(duì)f（z）積分其實(shí)是對(duì)u（x，y），v（x，y）的積分。所以在復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算問(wèn)題中，這是一種計(jì)算思路。但相對(duì)于后續(xù)所接觸的柯西積分定理和柯西積分公式而言，定義所涉及的方法就不是那么常用了。柯西積分定理是針對(duì)于在區(qū)域內(nèi)部都是解析的，并且在此區(qū)域內(nèi)沒有奇點(diǎn)的被積函數(shù)而言，則由一閉曲線所圍成的路徑的積分值為零。例如，以|z|=r2 為積分路徑，對(duì)f（z）=z2進(jìn)行積分，積分值為零。因?yàn)樵诜e分區(qū)域內(nèi)f（z）=z2沒有奇點(diǎn)，并且積分路線為一個(gè)閉曲線，所以由柯西積分定理得出該積分值為零。而在數(shù)學(xué)分析里，對(duì)f（x）=x2 進(jìn)行積分時(shí)，應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式所得的積分值只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，而與積分路徑無(wú)關(guān)的一個(gè)定數(shù)。

柯西積分公式是f（z0）=12πi∫Lf（z）z-z0dz，用區(qū)域的邊界值代替區(qū)域內(nèi)奇點(diǎn)的積分值的公式。在這里，主要應(yīng)用柯西-古薩基本定理。在應(yīng)用柯西積分公式時(shí)應(yīng)該注意它的

使用前提：（1）在區(qū)域內(nèi)有且僅有一個(gè)奇點(diǎn)。（2）對(duì)于f（z）而言，在規(guī)定區(qū)域內(nèi)必須是解析的。例如，求積分∫Lezz（z-2）dz的值，其中L是圓環(huán)1≤|z|≤3。對(duì)于這道題而言，在所給區(qū)域內(nèi)只有z=2時(shí)的一個(gè)奇點(diǎn)，并且這里的f（z）=ezz在此區(qū)域內(nèi)解析，所以此題可以直接帶入公式求得積分值。但有些題是不能直接應(yīng)用積分公式求解的，例如∫Lcoszz2-1dz，其中L為圓周|z|=2。對(duì)于上述的積分而言，在所給區(qū)域內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)：1，-1。這時(shí)我們需要將原式因式分解，應(yīng)用復(fù)周線的柯西積分定理將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為在區(qū)域內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。所以正確解答為：

∫Lcoszz2-1dz=12（∫Lcoszz-1dz-∫Lcoszz-1dz）=12（2πicoszz=1-2πicoszz=-1）=0。

雖然兩者有本質(zhì)上的差別，但在復(fù)變函數(shù)論的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們可以看出解決復(fù)數(shù)的問(wèn)題時(shí)，很多都講其轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的問(wèn)題。而當(dāng)問(wèn)題變到實(shí)數(shù)上求解時(shí)，我們自然的就想到數(shù)學(xué)分析里的知識(shí)體系，實(shí)際上也確實(shí)如此。例如，在證明復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，就將復(fù)數(shù)列的收斂證明轉(zhuǎn)化到實(shí)數(shù)列的證明，即實(shí)部和虛部的收斂證明。在連續(xù)性的問(wèn)題上，二者雖然定義是共通的，但在證明上，我們將復(fù)變函數(shù)里的連續(xù)性轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍里的連續(xù)性，即實(shí)部與虛部的連續(xù)性，這也同樣變?yōu)閿?shù)學(xué)分析里的連續(xù)性的證明。再如，證明復(fù)數(shù)列級(jí)數(shù)一致收斂的問(wèn)題時(shí)，所應(yīng)用的優(yōu)級(jí)數(shù)判別方法是同樣也是將復(fù)數(shù)列轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)列的證明，因?yàn)樵谶@種方法下所取的收斂的正項(xiàng)優(yōu)級(jí)數(shù)只與n有關(guān)，不涉及復(fù)數(shù)問(wèn)題。而談到這里，我們也該想到數(shù)學(xué)分析里正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一系列的證明方法，在這里就不一一說(shuō)明了。

復(fù)變函數(shù)論和數(shù)學(xué)分析即緊密相聯(lián)，又各有不同。例如，在復(fù)變函數(shù)里，f（z）在區(qū)域內(nèi)解析，那么就可以得出在此區(qū)域內(nèi)原函數(shù)有各階導(dǎo)函數(shù)，并且各階導(dǎo)函數(shù)也解析，這在數(shù)學(xué)分析里是沒有的。再如，數(shù)學(xué)分析里的羅爾中值定理在復(fù)變函數(shù)里不能完全的套用。所以，在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)時(shí)應(yīng)該仔細(xì)區(qū)分什么是能直接應(yīng)用的，而什么不能。但是二者在一定程度上的相似之處正是為我們更好地了解它們的一個(gè)橋梁，所以，在教學(xué)過(guò)程中建議教師可以利用這兩者之間的聯(lián)系教學(xué)，將數(shù)學(xué)分析里的相關(guān)結(jié)論引入復(fù)分析的結(jié)論證明中。對(duì)于學(xué)生來(lái)講，舊的知識(shí)體系總要比新的知識(shí)更容易接受，同時(shí)促進(jìn)新舊知識(shí)的銜接。在教學(xué)過(guò)程中必須說(shuō)明兩者的區(qū)別，否者容易造成二者的混淆。