及時捕捉學生的思維火花

陶漢新

摘要：在本文中，筆者意在通過賞析近十年平面向量與解三角形交匯試題，揭示出這類試題的一般特點及命題規(guī)律，為廣大師生備戰(zhàn)高考提供了參考和借鑒。

關鍵詞：高考；試題；賞析

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）03-0094

新課改以后，高考數學在平面向量與解三角形交匯處命題已成常態(tài)。本文意在通過賞析近十年平面向量與解三角形交匯試題，揭示出這類試題的一般特點及命題規(guī)律，為廣大師生備戰(zhàn)高考提供參考和借鑒。

一、運用平面向量計算三角形的邊長

【例1】（2012湖南）在△ABC中，AB=2，AC=3， =1，則BC=（ ）

A. B. C. 2 D.

【解析】由于 = = =

所以， cosB=

又因為cosB= = =

解方程 = 得BC= ，故選擇A。

【點評】本題主要考查了平面向量數量積與余弦定理等知識，著重考查了數學運算能力，同時還考查了等價轉化思想。屬中等難度題。

二、運用平面向量計算三角形的內角

【例2】（2006遼寧）△ABC的三內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c設向量p=（a+c，b），q=（b-a，c-a），若p∥q，則角C的大小為（ ）

A. B. C. D.

【解析】由 得，（a+c，c-a）=b（b-a）

即b2+a2-c2=ab

從而cosC= =

于是C= ，選擇B.

【點評】本題主要考查了平面向量平行的坐標表示、余弦定理和已知三角函數值求角等知識，著重考查數學運算能力。屬中等難度題。

三、運用平面向量計算三角形的面積

【例3】（2010遼寧）平面上O、A、B三點不共線，設 ， ，則△OAB的面積等于（ ）

A. B.

C. D.

【解析】

故選擇C。

【點評】本題主要考查了三角形面積公式、平面向量的數量積及其幾何意義、同角三角函數基本關系等知識，著重考查了數學運算能力。屬中等難度題。

四、運用平面向量判斷三角形的形狀

【例4】（2006陜西）已知非零向量 與 滿足

且 ，則△ABC為（ ）

A. 三邊均不相等的三角形 B. 直角三角形

C. 等腰非等邊三角形 D. 等邊三角形

【解析】非零向量 與 滿足 即角A的平分線垂直于BC，所以AB=AC，

又 cosA= ，A= 故△ABC為等邊三角形，選擇D。

【點評】本題主要考查了平面向量數量積及其幾何意義、已知三角函數值求角等知識，著重考查了數學運算能力，同時考查了數形結合思想。屬中等難度題。

五、運用平面向量判定三角形的五心

【例5】（2009寧夏海南）已知O、N、P在△ABC所在平面內，且分別滿足條件， = = ， + + =0， · = · =

· ，則點O、N、P依次是△ABC的（ ）

A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 內心

C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 內心

【解析】由 = = 可知，點O到△ABC各頂點的距離相等，為其外心。又由 易知，點N為其重心。再由

所以點P是△ABC三條高線的交點，為其垂心。故選擇C。

【點評】（1）本題主要考查了平面向量的模、平面向量的數量積、兩向量垂直的充要條件、三角形的外心、重心、垂心概念等知識，著重考查了數學邏輯推理能力和運算能力，同時還考查了數形結合思想、等價轉換思想。屬中等難度題。

（2）對于三角形的各種心，教師可在復習平面向量時，做適當補充：

①點P是△ABC外心的充要條件是 ；

②點P是△ABC重心的充要條件是 + +P = ；

③點P是△ABC垂心的充要條件是 · = · = · ；

④點P為△ABC內心的充要條件是a +b +c = ；

⑤點P為△ABC角A旁心的充要條件是a =b +c .

六、運用平面向量解答三角形綜合題

【例6】（2014四川）已知F是拋物線的焦點，點A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側， =2（其中O為坐標原點），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是（ ）

A. 2 B. 3 C. D.

【解析】依題意可得焦點F（ ，0），設A（x1，y1）（y1> 0），B（x2，y2）（y2 <0），故x1=y21，x2=y22，則y21y22+y1y2=2，因為A、B位于x軸兩側，故y1y2=-2，從而S△ABO+S△AFO= |x1y2-x2y1|+ × |y1|= + y1≥3故選B。

【點評】本題主要考查了平面向量的數量積、拋物線、基本不等式、解三角形等知識，著重考查了數學邏輯推理能力和運算能力，屬中等難度題。

【例7】（2013浙江）設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B= AB，且對于邊AB上任一點P，恒有 · ≥ · ，則（ ）

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90°

C. AB=AC D. AC=BC

【解析】以AB的中點O為原點建系，設A（-c，0），B（c，0），C（a，b），則P0（ ，0），那么 · =（c-x，0）·（a-x，b）=x2-（a+c）x+ac

于是當x= 時， · 最小，而已知 · 最小，所以 = 即a=0時，故AC=BC，選擇（D）。

【點評】本題主要考查了平面向量數量積及其坐標表示、二次函數等知識，著重考查了數學推理及運算能力，同時還考查了數形結合思想、化歸思想等數學思想。屬于難題。

七、結束語

從以上列舉的高考平面向量與解三角形交匯考題來看，這類試題要求考生對相關數學概念要非常清楚，要具有較強數學推理及運算能力，同時還要掌握基本的數學思想方法。此類試題多屬中等難度題。因此，筆者建議在備戰(zhàn)高考的復習中，教師一定要引導學生重視教材，認真落實對基礎知識、基本能力和基本數學思想方法的訓練。這不僅是高考考綱的明確要求，更是《數學課程標準》的要求。

作者簡介：費諫章，陜西省中學數學特級教師，陜西省中小學教學名師工作室主持人。先后主持并完成了三個省級基礎教育規(guī)劃課題，在省級教育期刊上公開發(fā)表了十余篇高質量的教研論文。

（作者單位：陜西省安康市石泉中學 725200）