解題·發現·提煉·專題

汪海峰

摘要：數學離不開解題，習題教學是知識點的濃縮與升華，是學生糾正偏差、預防錯誤、鞏固基礎、強化技能和提高思維能力的過渡，也是教師補救授課中留下缺憾的途徑。但是，現在有一種不好的傾向，將習題與數學劃上等號，教師在網上拼命地搜題目，學生在試卷上機械地做題目；教師不注意歸納整理反思，學生更是做得一頭霧水。其實，數學題目本是一顆顆散落的珍珠，需要我們（教師或學生）尋找一根絲線，將它們合理地串連起來，而這根絲線，正是習題背后展現的問題，并由問題反思提煉出來的專題，是數學的核心思想和基本方法。

關鍵詞：解題；發現問題；相似；提煉；專題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）03-0065

本文就數學中考題中涉及相似問題的部分題目作一個小視角的梳理，探索如何有效地開展習題數學，如何從習題中發現問題，并將問題提升到專題的高度進行研究的方法。

數學習題教學講究一題多解，提倡思維的發散性和開放度，但是，學生最終呈現出來的應對某些特定問題的解題策略往往是收斂的，一般可歸結為特殊解法和常規解法，也就是說，數學解題策略往往是先散后收的。

然而，事實上，我們的習題教學往往是散而無度的，最終導致學生在解題時無從下手，邁不開關鍵的第一步，在習題中及時反思發現問題，最終提煉成專題的習慣，教師要有，學生更要有，或者說是教師的習慣成就了學生的習慣。

一、教師要善于從習題中發現問題

數學習題經歷過歲月的累加，已經多得汗牛充棟，其中不乏經典好題，但是更多的是雷同題或改編題，即俗話說的“換湯不換藥”。因此，教師要善于從紛繁的題海中擷取智慧的浪花，將最重要的教給學生。

案例1. 發現問題——哪里來的相似？

如圖1.已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一點（不與點A，B重合），連接CO并延長CO交⊙O與點D，連接AD。

1. 弦長AB等于 ；（結果保留根號）

2. 當∠D=20°時，求∠BOD的度數；

3. 當AC的長度為多少時，以A，C，D為頂點的三角形與以B，C，O為頂點的三角形相似？

反思：學生在解此題時，第1，第2小題尚能夠上手，屬于中檔題，但是到了第3小題，明顯感覺無從下手，不知所云了，因為按題目的問法：“以A，C，D為頂點的三角形與以B，C，O為頂點的三角形相似”，必定是對兩個三角形的相似情況進行討論，但是兩個三角形又明顯不相似，倘若硬要分類討論，則需要討論的情況又太多，幾乎是不可能實現的……學生陷于糾結之中。

作為教師，從這道試題中需要思考的問題是：要不要討論，對相似的討論有哪些情況？本題的突破口在哪里？

事實上，如果不考慮隱含條件，那么相似的討論需要考查六種情況，這種題目運用于考試中是幾乎不可能的，因此，如果涉及兩個三角形相似的問題，則必有隱含條件！本題的隱含條件是：由于∠BCO>∠A，∠BCO>∠D，因此∠BCO必與∠ACD對應，如果發現這一隱含條件，則迅速將六種情況減少為兩種情況，又由垂徑定理得點C必為AB的中點，動點問題轉化為定點問題，難度一下子降低，幾乎大多數學生都能解決了。

因此，從本題的解答中，我們可以發現一個問題：從怎么可能相似，到不得不相似，其中的奧妙就在于隱含條件的挖掘。

案例2. 發現問題——似曾相識的相似！

如圖2，已知拋物線y= x2- （b+1）x+ （b是實數且b>2）與軸的正半軸分別交于點A，B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C。

（1）點B的坐標為 ，點C的坐標為 ；（用含b的代數式表示）

（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）。如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由。

反思：考查第（3）題，顯然又是一個相似的討論問題，學生面對“點Q在第一象限”犯愁了“茫茫第一象限，哪里才是點Q該去的地方？

由此，問題就出現了：從怎么可能相似，到不得不相似，這種思維方式在哪里經歷過？這就是習題背后的問題。三角形相似必有隱含條件，并且這個隱含條件是好像不成立而又不得不成立的：點Q必在過點A且垂直于X軸的第一象限內的射線上，且∠OQA必與∠ABQ對應！這么多不得不成立的“必”字，將在第一象限內“跑動”的點Q一下子固定住了，下面只要討論△OCQ與△OAQ的相似情況，顯然已經將復雜題目轉化為了常規題目，中等水平的學生都能解決了。

二、教師要善于將問題提煉成專題

能夠把題目講清楚的教師是合格的，能夠把題目講透的教師才是優秀的，怎樣才算“透”？能夠從題目中發現問題只是“透”的第一步，關鍵是能夠將問題串聯起來形成專題，編織一張相關題型、相關數學知識的大網，這樣才是真正的“透”。

相似的討論問題，完全可以作為一個專題重點研究，將歷年的試題串連起來，明確解題策略和應對方法。

例如，從是否需要討論的角度而言，我們要觀察題目的問法，如果出現了形如“△ABC∽△DEF”，那么不必討論，除此之外一般都需要討論（討論并不代表必有多解）。從討論的分類情況而言，沒有隱含條件的討論是幾乎不可能出現的。所以有必要對隱含條件的情況做一個梳理。

隱含條件通常是角相等（少數也會涉及邊的情況），可以分為已經相等和不得不相等兩種情況，我們常見的題型是已經相等而不明確相等的情況，可以表示為：

案例3. 形成專題——從原來如此到無非如此

設拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于兩個不同的點A（-1，0），B（m，0），與y軸交于點C，且∠ACB=90°。

①求m的值和拋物線的解析式；

②已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E，若點P在x軸上，以點P，B，D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標：

③在②的條件下，△BDP外接圓半徑等于 。

反思：第②題是關于相似討論的題型，可以發現△AEB與△PBD有一對角始終相等，不隨點P的運動而變化，即∠EAB=∠PBD=45°。這個條件是已經相等但隱含在題目中的，是需要我們去發現的，而一旦發現了這個隱含條件，那么相似的討論就轉化為對兩個基本圖形的研究：A字形和斜A字形，立得問題就變得輕而易舉了。

類似的習題很多，但是倘若我們僅僅止步于此，不能從習題中發現問題，不能推廣到“不得不相等”的情形，那么難免有“坐井觀天”之嫌疑，我們為學生編織的數學之網也是有漏洞的。

三、“習題·問題·專題”對數學教學的指導意義

從習題中發現問題，并將問題提煉成專題，這不僅是一種教學方式，更是一種良好的思維方式。從教師角度而言，自覺地養成這種習慣，一方面可以有效地將數學習題進行歸類、整理，提高教師把握學科的能力，促進教師的專業成長；另一方面，這種方法可以擴大教師認識數學的視角，使教師能夠居高臨下地對待數學問題，從而引導學生養成這種歸納、反思、整理的優秀品質。

從學生角度而言，目前的數學學習不缺乏題目，而缺失的就是對題目的再認識，缺少回頭望的過程，缺少從習題中發現問題的過程，更不用說提煉出數學思想、解題策略，形成相關題型的專題。事實上，通過習題這一載體，學生真正要學習的，恰恰正是這種良好的思維習慣和思維品質，對學生的可持續發展、終身發展都是大有裨益的。

從教學角度而言，良好的數學教學不應該只是簡單的知識傳授和習題解答，更多的是對學生學習內驅的激發和學習素養的喚醒，我們不僅要教給學生“原來如此”也要教會學生思考“為何如此”，更要引導學生明白“無非如此”。其實，這也正好體現了不同能力、不同素養的教師對數學教學的不同認識，也由此造就出不同數學視野的學生。

從習題中發現問題，將問題提煉成專題，是需要過程的，如果學生做不到，那么教師就要努力去引導；但是，如果連教師也做不到，那我們怎么去奢求學生呢？

著名數學家G·波利亞說：“一個專心鉆研教材的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。”那么，我們不妨推而廣之，一個專心研究習題的教師拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，通過這道題，就好像通過一道門戶，將學生引入一個完整的專題領域。

如果說，數學習題是山腳下的一棵棵樹木，我們教師領著學生在樹林里轉，那么學生的眼中只有樹木；倘若我們能夠領著學生走上山坡，那么，我們看到的將是一片樹林；如果我們還能往上走，那么，我們看到的將是一個森林！

“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層。”這是我們學習數學的最高境界。而我們教師進行數學教學的最高境界則是：將難題教簡單了。我們相信，在習題中反思發現問題，并將問題提煉成專題，是將難題教簡單的一種行之有效的方法，也能有效地促進教師的成長！

（作者單位：安徽師范大學附屬外國語學校 241000）