把握知識來龍去脈有效促進數學理解

連世友

學生要對數學知識全面理解與把握，就需要通過親身經歷來實現，并且還伴隨著一系列的分析、綜合的方法，努力經過體驗、探究、驗證的過程，充分理解數學知識“是什么”“與什么有關聯”“有什么用、怎樣用”，也就是從最初的模糊朦朧、未分化的理解逐漸過渡到明確清晰、分化的理解。這樣的數學學習才是最有效的學習，這也就是我校數學課題組進行“小學數學各學段教學有效銜接的研究”課題研究的目的所在。只有全面把握數學知識的來龍去脈，才能有效促進學生對數學知識的全面理解。

一、把握數學知識生成點，內化數學理解

數學知識具有抽象性和連續性。學生在學習和理解數學知識時，是先認識數學對象的外部特征，構建相應的心理表象，然后在建立新舊知識聯系的動態體驗、探究的過程中，抽取并全面理解數學知識的本質特征及規律，從而達到掌握并應用新知的最終目標。因而，教師在教授新知時應充分引領學生認知新舊知識間的內在聯系與區別，把握好數學知識的生成點，即“是什么”和“為什么”，從而內化為學生對數學知識本質性的理解。

例如，“異分母分數加、減法”的教學。當教師通過對同分母分數加減法的計算方法復習之后，進一步引導學生探究：①“■+■”為何不能直接相加減？②如何轉化為已學的知識解決？③我們可以有哪些方法解決這個問題？討論后，得到以下幾種解決方法：①化小數計算；②畫圖推導計算；③通分計算。再讓學生進行比較，認識其共同點：都是把新知轉化為已學過的知識和方法加以解決。同時，教師引導學生通過討論比較得到最優方法——通分計算。讓學生尋找“同分母分數加減法”和“異分母分數加減法”的本質聯系——只有分數單位相同才能直接相加減。

對于“為什么只有分數單位相同才能直接相加減”這一結論，此時學生還無法真正理解其本質屬性，教師與學生需要作進一步深入探究。此時，教師可將“整數、小數、分數”加減法的計算法則通過課件予以展示，讓學生通過比較內化：整數加減法是相同數位對齊；小數加減法是小數點對齊；分數加減法是分母相同才能直接相加減。這三者實際上都體現了加、減法運算法則的本質特征：只有相同計數單位才能相加減。學生只有明白了數學知識的生成點在哪兒，才能真正內化為自己對數學的深刻理解。

二、找準數學知識發展點，優化數學理解

數學學習的根本在于理解。《義務教育數學課程標準（2011）》提出了“通過數學學習，學生能運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題，分析和解決問題的能力”的總目標。學生只有理解一個熟悉的問題是怎樣被提出來的，一個數學概念是怎樣形成的，一個數學公式或法則是怎樣獲得和應用的，才能讓已經存在于學生頭腦中的那些不成熟的數學知識和數學體驗上升并發展到全新的科學結論，從而找準數學知識的銜接點與發展點——數學模型的建立，讓學生進一步優化對數學知識本質屬性的豐富理解。

例如，人教版四上“常見的數量關系”中“單價、數量、總價”一課。教材以“你知道單價、數量與總價之間的關系嗎？”為問題，引導學生結合自己的生活經驗，自主探索、總結出數量關系——單價×數量=總價。其實學生從二年級就開始學習了乘法和除法，為了體會數學知識具有延續性和發展性，教師還可以引導學生聯系起來想一想：為什么“單價×數量=總價”要用乘法？而“總價÷單價=數量”“總價÷數量=單價”又是用除法呢？先分析一下：單價是單一數量下的價格，相當于每份是多少；數量相當于幾份；總價就是求“幾個幾是多少”。

而后，引導學生回顧二年級下冊教材中“一乘二除”的圖示（圖1），寫出相應的算式。

思考：每道題寫出的算式中，哪個數相當于“單價”？哪個數相當于“數量”？哪個數又相當于“總價”？從而讓學生理解“單價、數量和總價”之間的關系，就是乘除法之間的關系的一種具體表現，即將眾多的“一乘二除”問題歸之于乘法，這就生動詮釋了“乘法是一個筐，許多東西都可以往里面裝”的形象。為學生的后續學習“路程、速度、時間”與“乘除法意義和各部分間的關系”奠定了良好的基礎，為數學知識的進一步發展構建了“關系”模型，讓學生對數學知識的理解達到最優化。

三、注重數學知識延伸點，深化數學理解

我們知道，小學數學知識是依據兒童年齡特征發展和不同階段的認知結構水平，以螺旋上升的方式呈現出來的。不論是相同模塊的同一知識，或是不同模塊的不同知識，它們之間都存在著或多或少的關聯。這種關聯的產生，是因為每個數學知識點都有著其本身的內涵和外延，因而在數學教學中，只有找準知識間的內在聯系，注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每節課的知識點都置于整體知識的體系中，處理好單一知識與整體知識的關系，引導學生感受知識的整體性，體會對于單一數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解，才能夯實學生的“四基”，增強學生的“四能”。

例如，人教版“觀察物體”的教學。人教版教材將“圖形與幾何”模塊中的“觀察物體”內容，分三個階段在不同年級進行教學。首先是二年級上冊第五單元“觀察物體（一）”。該單元的設計內容和目標是建立在二年級學生認知能力還很薄弱、空間想象力還不夠完善，因而以“知道從不同位置觀察到的物體形狀可能是不同的，能辨認從不同位置看到的簡單物體的形狀，能辨認從不同位置看到的簡單幾何形體的形狀”為教學目標，逐步讓學生感受物體局部與整體的關系，初步形成全面看待事物的意識，為第二階段學習“觀察物體”提供了智力支持和學習延伸點，即位置不同，觀察到的物體輪廓就可能不同。

其次是四下第二單元“觀察物體（二）”。該單元知識是建立在二年級學習的基礎上。這一階段，學生的空間想象力得到有效提升，空間方向感有了明顯增強，空間推理能力有了一定基礎，因而以“能辨認從不同位置觀察一個用正方體搭成的幾何組合體的形狀，并認識到從同一位置觀察不同物體，看到的形狀可能相同也可能不同”為教學目標，逐步培養學生從單一物體觀察到多樣物體組合觀察的空間想象力和推理能力。此時學生對所觀察的物體表象特征有了更明確的判斷推理能力，經歷了由二維圖形延伸到三維圖形的過程，為五年級“反推”能力的培養奠定了扎實的基礎。

最后是五年級下冊第一單元“觀察物體（三）”。本單元內容是在前面學習了從不同角度觀察實物與單個實體圖形，以及幾何組合體的基礎上進行教學的，主要是讓學生“根據給出的從一個方向或三個方向看到的形狀圖，用給定數量或是不確定數量的小正方體擺出相應的幾何組合體，體會不同擺法和有些擺法的確定性”。這是前面兩個階段學習的延伸與提升，學生在不斷經歷觀察、操作、想象、猜測、分析和推理的過程中，逐步積累數學活動經驗，為第三學段的全立體、全方位學習三維空間圖形奠定了良好的基礎。

數學理解是多維度的、復雜的。學生對數學知識的理解并不是一蹴而就的事情，需要教師整體把握教材，找準各學段相關知識的有效銜接點，并給學生提供有效的學習資源和素材，給學生充足的時間和空間進行探究活動，積累豐富的數學學習經驗，全面提升學生的數學核心素養。

（作者單位：福建省福州市西園中心小學）