數學理解及其教學實施路徑

孔凡哲

【編者按】什么是數學理解？《義務教育數學課程標準（2011）》中有這么一段話：數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化?？梢钥闯觥袄斫狻倍衷谛W數學教學中的重要地位。那么，如何在教學中實現“數學理解”？本期話題圍繞“深化數學理解，激發學習動力”展開。

如眾所知，判斷數學學習成功與否的重要標志之一，就是學生是否獲得數學理解。究竟什么是數學理解？如何幫助學生獲得數學理解？本文結合小學數學課程與教學的實際，闡述數學理解及其教學實施路徑。

一、何謂數學理解

“數學理解”其實是一個很難準確下定義的概念——盡管數學定義要求準確無誤。通俗地講，如果一位學生已經獲得了“數學理解”，就意味著這位學生能夠用自己的故事表達相應的數學內涵，對其中本質內涵的反映準確無誤。也意味著，在這次數學學習中，學生對于活動中所包含的數學本質內涵已經“內化”。按照認知心理學的觀點，獲得數學理解意味著數學本質內涵已經融化在學生原有的數學認知結構之中，并形成相應的數學觀念。

綜上，針對“數學理解”，我們認為，如下三個要點極為重要。

1. 在數學學習中，“理解”不等于“會背定義”。在中小學數學中，無論是解釋性的定義，還是相對嚴格的定義，其核心都在于數學概念的本質內涵，即使學生準確無誤地背出定義，也未必真正理解其中的本質內涵。

2. “數學理解”具有典型的數學學科韻味（或稱之為數學學科特征）。亦即，數學理解雖然具有個體特征，但其要害在于，這種理解具有典型的數學學科特征。舉例來說，“某個自然數能夠拆成兩個相同的自然數之和”就是“理解”偶數所必需的數學特征，至于學生采用什么樣的語言、什么樣的方式，都是次要的。

3. 數學理解是個體對于數學學習內容所包含的數學內涵的自我構建，進而形成具有個人意義的典型標志。對學生而言，數學理解的本質在于，學生已經用原有的數學認知結構的相應觀念（或替代物，或相應素材）詮釋新知，構建了新知與已知之間的自然聯系，而每個學生的數學認知結構都具有典型的個性特征，這種特性在“產生數學理解”的數學認知結構中的相應成分（相應部件）上表現得尤為充分。

二、數學理解的若干特征

與一般的“理解”相比，“數學理解”更復雜、更富有數學特征。

1. 獲得數學理解意味著，學生已經把握了相應數學內容背后的數學學科特征。

2. 獲得數學理解必然是學生對直接經驗和間接經驗的親身加工所致，其中的核心在于學科思維活動。對學生而言，獲得了數學理解意味著，他一定經歷了概念抽象，或者法則概括或者其他新知構建的過程，而這個構建過程恰恰是學生對于原有的經驗素材和剛剛獲得的素材的加工整合所致，這種加工整合的本質內涵屬于數學學科思維活動。

3. 獲得數學理解的一個重要標志是，學生能講述自己的“故事”，而這個“故事”恰恰能體現相應數學內容的學科本質特征。

三、幫助學生獲得數學理解的教學實施路徑

正如弗賴登塔爾所言：“與其說學數學，倒不如說學會數學化?！睂W生的數學學習本質上就是實現數學化，而幫助學生獲得數學理解正是走向數學化的必經之路。

在小學數學日常教學中，幫助學生獲得數學理解，不僅需要課程教材的設計者精心設計課程內容及其恰當的呈現形式，更需要教師精心設計、組織小學數學課堂教學過程，充分喚醒學生已有的數學活動經驗和相關的生活經驗，使學生在輕松愉悅中主動建構自己對于新知的理解，進而獲得理解性掌握。

1. 幫助學生親身經歷數學概念的抽象過程、數學法則規律的概括過程，以及數學模型的構建歷程，是獲得數學理解必不可少的重要環節。

【教學案例】“破損的椅子”與角

在進行“認識角”的教學中，有教師采取這樣的情境導入。

用動畫展示聰明貓做開車旅行前的準備工作情境。聰明貓需要調試駕駛員的椅背（動畫呈現椅背三種狀態：銳角、鈍角和直角），同時用畫外音表達“只有（直角的）這種狀態開車才方便”（而這一點恰恰是多數學生生活經驗所熟知的）。同時，課件設計時特意將駕駛室的椅背的旋鈕漏出來，突出一個頂點、兩條邊，即“一個地方是尖尖的，兩邊是直直的”。而后將聰明貓一路見到的生活中的各種形狀的“角”凸顯出來、抽象出來，初步認識角的概念和本質特征。教師對于聰明貓所見到各個相關圖片（其中都包含“角”）都進行教學加工（比如，椅背的旋鈕露出來了，而生活中是看不見的），其目的在于幫助學生更好地從生活情境中抽象出數學中的角。

這種課堂教學設計，其根本用意在于，喚醒學生已有的生活經驗，利用學生喜愛的聰明貓開車旅行的背景，將“角的概念與角的關鍵特征”融在有趣的情境之中，具有幫助學生自我建構的明顯傾向，即從找角，到歸納角的特征（一個地方是尖尖，兩邊是直直的）。設計者堅信：“學生學角不是為了記住角的概念，而是讓學生經歷從生活中大量的素材抽象出數學中的角的過程?！弊寣W生經歷這種抽象過程，對人的大腦確實是一次激發——不只是讓學生記住某個概念，而是在獲得數學理解過程之中，通過各種活動將學生的潛質激發出來，進而獲得終生受用的智慧和素養。

2. 幫助學生自我建構，實現樂學、能學、會學，是數學理解教學的利器。

正是由于數學理解需要學習者有效利用已知，主動構建對于新知的理解，獲得數學理解、形成新知，從而樂學、能學、會學，所以成為數學理解教學的利器。

（1）樂學的中心工作在于激發學生數學學習的興趣，充分利用數學有趣、數學好玩，喚醒學生主動學習的原動力，解決學習動機問題。為此，激發學生參與數學學習的主動性，喚醒學生享受數學學習快樂的主動意識，是教師解決學生樂學所必備的工作。

（2）能學包含學習能力和學習毅力兩個方面，前者包括具備學習的能力，包括閱讀能力、理解能力、語言對話交流能力、正確的書寫能力，以及獲取新知的基本能力。后者特指具備數學學習的毅力。其實，數學學習必須具備一定的毅力，要能夠堅持下來。畢竟數學是思維科學，既需要大膽的猜測猜想，也需要謹慎的分析論證（包括縝密的計算、推理過程）。

（3）會學是指掌握小學數學學習的基本策略方法。諸如，如何閱讀數學教科書，如何思考數學問題，如何動手動腦在做中學數學，如何主動參與課堂教學，如何總結每節課的要點、每周的數學學習要點、每單元的數學學習要點，如何避免“丟三落四”、毛毛糙糙等不良現象。

3. 抽象和類化，都是獲得數學理解不可缺少的教學渠道。

正如前文提及的，數學理解的一個重要特征就是具有數學學科內涵，而抽象、推理、模型恰恰是數學的基本思想，構成義務教育階段數學的核心思想。對于小學數學而言，抽象及其逆向過程（即類化）占據更大的比例成分，畢竟小學數學是數學科學的起始和基礎，為數甚多的小學數學概念其實是現代數學許多分支的原始概念或起始概念。

例如，以“圓”的概念為例，在認識到圓在現實生活中的普遍存在性后，教師設計“如何用一張紙撕出一個近似的圓紙片”活動，幫助學生先思考再動手做，在撕出一個近似的圓紙片后再重演“撕的過程”，分析對折的目的及其效果，才能幫助學生一邊做一邊感悟圓的概念，進而實現“圓”概念的抽象過程。只有幫助學生親身經歷數學概念的抽象過程，才能幫助學生獲得數學理解，理解抽象思想，形成初步的數學抽象能力。

4. 恰當地利用幾何直觀、學生的操作活動與合作分享等，可以有效增加學生對新知的理解程度。

對于小學數學教學而言，幾何直觀必不可少。例如，對于理解“數位”的概念，最有效的途徑就是利用現實素材。以“27+4”的教學為例，教師呈現“準備請客人到家吃飯的情境”——老師計劃用“西紅柿炒雞蛋”招待客人，而家里的冰箱里僅有4個雞蛋，老師從超市里剛剛買來1箱雞蛋（共3層，每層都有用紙漿做成的10個窩，每個窩放1個雞蛋，一共30個），打開后發現破損了3個，僅僅剩下27個（教師將雞蛋帶到課堂教學現場，只不過將雞蛋做了特殊處理，用針管將蛋清蛋黃抽出來，僅剩下了蛋殼）。教師馬上提出：“現在的雞蛋數量一共多少個？”

課堂教學中的學生親自操作表明，學生很自然地將4個雞蛋中的3個補到3個空缺中，湊成完整的三層，而剩下1個雞蛋，一共31個。幾乎所有的學生憑著自然的感覺認為，必須湊成整屜整屜的，也就是說“10個雞蛋一屜”是現實生活中真實存在的，更是學生所認同的，用它來作為實物直觀實施十進制的教學是智慧的、成功的。

5. 在教學過程中，教師創設恰當的問題情境，搭建學生認知的最近發展域，將新知融于學生原有經驗組成的情境素材中，進而進行抽象、推理、建模，這是獲得數學理解不可缺少的重要的教學環節。

例如，“感受可能性”是小學數學教學的難點，即使是小學數學教師，有時也會遭遇困難。在教學中，搭建學生的認知腳手架，可采用如下方式。

教師首先出示一枚硬幣，提出“你覺得連續擲10次，會出現幾次正面”問題，供全班學生猜想。而后，教師現場操作，一般不會一定出現5次。此時，教師提出：“如果你來操作，結果會怎樣呢？”將全班同學分為每兩位一組，分組擲硬幣，每組5分鐘。而后將全班每組的數據現場統計在黑板上，隨著統計的一組組數據的出現，教師引導學生分析這些數據，感受數據的隨機性。一旦將全班各組的數據疊加在一起（相當于連續擲200次以上），那么，正面、反面出現的可能性就相差無幾，亦即，出現正面的可能性非常接近0？郾5。由此可以推斷，這個硬幣是均勻的。

這種設計，其用意一方面在于學生親身操作、全班合作完成數據的收集過程，另一方面在于，幫助學生獲得直接的數學活動經驗，體會數據的由來，親身獲得數據隨機的直接體驗。同時，更有利于培養學生的數據分析意識，建立歸納思維。而從統計學的學科屬性而言，這種設計的本質在于，利用頻率刻畫概率必須保證頻數足夠大，否則達不到效果。

6. 學生之間的交流分享是促進數學理解的加速器。

理解的一個重要標志就是準確表達。而學生之間的交流分享，既可以誘發學生積極表達交流，并在其中主動反思自己理解的漏洞，又可以增進學生自我身份的強化和集體認同，有助于構建良好的朋輩關系，實現個人的社會化。

正如蘇聯教育家贊可夫所言：“當教師把每一位學生都理解為他是一個具有個人特點的、具有自己的志向、自己的智慧和性格結構的人的時候，這樣的理解才能有助于教師去熱愛兒童和尊重兒童?！逼溽槍π噪m然是“教育”，但其核心其實已經觸及“理解”的本質。

（作者單位：東北師范大學）