例談數學實驗在“圖形與幾何”領域的價值引領

孫冬梅

數學實驗，是大學的一門課程。目前，中學階段已經對數學實驗提出了相應的要求。小學階段，對數學實驗的研究相對要少得多，對數學實驗的理解也各有不同。其中，郭慶松認為：數學實驗是指為探索數學規律、構建數學概念或解決數學問題，在數學思維活動的參與下，基于特定的物質條件通過操作進行的一種數學探索、研究活動。小學數學教學中的數學實驗不同于一般的數學實驗，是在數學思想和數學教學理論的指導下，在數學教學中，讓學生借助于一定的物質儀器或技術手段，通過對實驗素材進行“數學化”的操作來學（理解）數學、用（解釋）數學或做（建構）數學的一類數學學習活動。

數學實驗的目的是提高學生學習數學的積極性，提高學生的應用意識，并培養學生用所學的數學知識去解決實際問題的能力。不同于傳統的數學學習方式，它強調以學生動手為主的數學學習方式。在“圖形與幾何”領域，認識圖形的特征、發現圖形的性質、探究圖形的分類、研究圖形的度量、觀察圖形的變化等一系列活動，不同類型的數學實驗均能發揮其獨特的作用。

一、操作型數學實驗，有助于空間觀念的培養

操作型數學實驗是一種常見的實驗方法，它是在教師的指導下，學生借助學具或實踐活動，對數量之間的關系、數學算理、數學法則、定義、公式等進行研究的小型實驗。這類實驗要跟操作活動區分開來，它是更廣義的操作，包含實踐性的數學活動。空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所要描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言描述畫出圖形等。在進行操作型數學實驗時，往往伴隨著大量的思維活動，我們可以充分利用這類實驗培養學生的空間觀念。

比如《平移、旋轉和軸對稱》一課，教材中設計了兩道習題（如右上圖）。這兩題是本節課的教學難點，相信許多教師在教學中都會非常重視，但依然會有部分學生不能正確解答。這時，我們就可以設計下列數學實驗：先讓學生剪出第3題的兩個圖形，分別旋轉，觀察圖形前后的變化情況；接著剪出第4題的兩個圖形，并提出不同的要求“會做的可以先畫一畫再操作檢驗，不會做的可以先操作再畫一畫”，讓學生在實驗的過程中加深對圖形旋轉后位置關系的理解，這種實驗對空間觀念薄弱的學生尤為重要。

如《認識公頃》一課，教材中有這樣一段描述：28名同學在操場上手拉手圍成一個正方形，正方形的面積大約是100平方米。先圍一圍，再想一想：多少個這樣的正方形總面積大約是1公頃？這為我們提供了設計數學實驗的契機。實際教學時，可以設計下列數學實驗：先按照學生的身高分為4組，每組7人，每人手拉手站成一條直線，長度大約是10米；接著組織學生到操場上手拉手圍出正方形，算出這個正方形的面積，并思考“多少個這樣的正方形總面積大約是1公頃”，閉上眼睛想象一下100個這樣的正方形有多大；最后讓學生沿著校園走一圈，感受校園的占地面積，估一估大約比1公頃大，還是比1公頃小？學生可以在這樣的實驗活動中初步體會1公頃有多大，嘗試建立1公頃的表象。在解決相關問題時，就可以提取實驗中獲得的經驗，作出相對合理的判斷。

二、探究型數學實驗，有助于幾何直觀的運用

探究型數學實驗是指學生不知道結論，需要借助一定的學具或實踐活動，通過開展有針對性的探索，進而獲得實驗結果。這類實驗學生可以借助幾何直觀把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果，從而更直觀地理解數學，培養核心素養。幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問題，在“圖形與幾何”領域，大量的數學實驗都是利用圖形展開的。

如《多邊形的內角和》一課，探究完四邊形的內角和后，引導學生猜想：“多邊形的內角和可能與什么有關系？”提問：“其他多邊形也可以像這樣分成幾個三角形來計算內角和嗎？”接著要求學生通過數學實驗來研究。出示實驗單（如下圖），說明實驗目的和實驗步驟，學生分組活動。匯報時讓學生分別說說準備了哪些實驗材料，實驗結果有什么發現。學生通過這樣的實驗把抽象的數學問題通過一個個簡單的圖形呈現出來，并通過對圖形的分割發現規律，既可以感受到數學實驗的魅力，又能體驗到幾何直觀的價值。

又如《釘子板上的多邊形》一課，學生探究完內部有1枚釘子的多邊形面積與邊上的釘子數之間關系后，教師提問：“接下來，你們想研究什么？”根據學生的回答出示實驗目的；接著追問：“你準備怎么研究？結合剛才我們研究內部有1枚釘子的過程和同桌討論討論。”在學生回答的基礎上分別出示實驗步驟；最后學生同桌合作，利用事先準備好的實驗材料完成數據的收集，填寫實驗結果。這個過程中，學生不僅充分經歷了數學實驗的整個過程，還借助幾何直觀探究了數學規律。

三、驗證型數學實驗，有助于推理能力的發展

驗證型實驗的主要特點是學生往往已經或者大概知道結論，通過實驗操作或實踐活動，對結論正確與否進行辨別，或“再發現”“再創造”，以此培養學生的實踐能力和驗證水平。這類實驗對學生推理能力的發展有著不可替代的作用。《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式，推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。因此在日常教學中，我們要通過恰當的數學實驗促進學生推理能力的提升。

如《三角形的內角和》一課，對于“三角形的內角和是180度”這一結論，大多數學生課前就已經了解。那么，怎樣通過不同的數學實驗驗證結論，是本節課更需要我們關注的問題。在例題三角板的內角和教學結束后，引導學生猜想：“是不是所有三角形的內角和都是180度呢？”再提問：“你能用不同的方法驗證這個結論嗎？”接著采用小組合作的方式進行實驗，比比哪組的方法多。學生一般會采用的驗證方法有量、撕、拼、折等，這時繼續追問：“如果不量也不拼，你能驗證它們的內角和是180度嗎？”并出示兩個完全一樣的直角三角形，拼成一個長方形，引導學生得出：長方形的內角和一定是360度，那么每個直角三角形的內角和都是180度；而任意一個三角形都可以畫出一條高，分成兩個直角三角形，剛才已經知道直角三角形的內角和是180度，兩個就是360度。但其中兩個直角不是三角形的內角，所以360度要減去兩個90度，這樣就可以得到任意三角形的內角和都是180度。動手實踐和理性分析相結合的驗證型數學實驗，必然讓學生的推理能力得到發展。

如《三角形的面積》一課，學生通過探究得出三角形的面積計算公式后，教師們一般都會介紹教材中“你知道嗎”板塊提供的“以盈補虛”的方法。這時，可以設計下列數學實驗：小組合作任意剪一個三角形，試著把它轉化成學會的平面圖形，驗證三角形的面積計算公式。受“以盈補虛”的啟發，學生大多能想到下面兩種方法，再讓學生說一說轉化后得到的圖形與原來的三角形有什么關系，由此來驗證結論。這里的數學實驗提供了與之前探究過程不同的方法，不僅讓學生再次感悟了轉化思想，更重要的是經歷了用推理證明結論的過程，促進了邏輯思維能力的培養。

蘇教版教材中，有許多教學內容可以適當增加相關的數學實驗，我們要充分挖掘，精心設計，努力發揮數學實驗在“圖形與幾何領域”的引領價值，為培養學生的核心素養開拓新領域。