評判與決策類典型問題探析

劉余猛

【摘要】評判與決策類問題是常見的數學應用問題，這類問題的解決依賴于技術性數據.通過探究隨機變量的概率分布及隨機變量的數字特征等是解決問題的關鍵.

【關鍵詞】評判與決策；概率分布；數字特征；時間因素

評判與決策類問題是常見的數學應用問題，依賴于技術性數據，其一般步驟是：1.建立數學模型；2.解模得到關鍵技術性數據；3.由數據作出評判或決策返回實際問題.

引入隨機變量之后，隨機事件可通過隨機變量的關系式表達出來，從而把隨機事件代數化，進而建立隨機變量的分布函數，再得到隨機變量的數字特征，逐步用數據來描述隨機變量的統計規律性，幫助我們發現隨機事件發生的內在規律性，為我們解決實際問題提供評判和決策的依據.本文希望通過幾個典型問題加以分析，說明解決決策問題時建模、解模中的常規方法和應該注意的相關因素.

一、構建適當數學模型

決策問題乃優化問題，決策的依據是相關技術性數據，故建立函數模型仍最為常見.首先建立期望與相關隨機變量的函數模型；再解模；最后作出決策.

案例1 （組織貨源量-連續型）設國際貴金屬市場每年對我國鉭的需求量是隨機變量X（單位：噸），X服從U（100，200），每銷售1噸的鉭，可為國家賺取外匯60萬美元，若銷售不出去，則每噸需貯存費20萬美元，問每年組織多少噸鉭，才能使國家收益最大.

簡析 1.根據分布的相似性，可就不同日訂貨量80筐、90筐、100筐、110筐，分別估算月利潤的期望值；

2.比較各月利潤期望，取最大值情形，從而作出決策.

注 1.涉及離散型隨機變量，常建立孤立點函數，涉及連續型隨機變量，常建立分段連續函數，再求此函數的最值；2.當然還有其他的數學模型，如：假設檢驗、線性規劃等等.

二、正確判斷概率分布類型

隨機變量的分布具有其內在規律性，正確判定隨機變量的概率分布模型與選取恰當的數據是作出正確評判和決策的關鍵.

案例2 （評選安全先進單位）某化工園區在安全管理評比中，有兩家企業在其他方面得分相同，不同的是，A企業有1000人發生事故5起，乙企業有200人發生事故1起，兩家的事故率相同，都在系統的平均范圍之內，那么如何確定誰是先進呢？按事故數少而評乙企為先進，但甲企業不服，其理由是發生事故率相同究竟如何評呢？

分析 1.這里應注意判定在人數很多的情況下，隨機變量發生事故數X的概率分布模型是什么，再看甲企發生5起事故的概率P（X=5）與乙企發生1起事故的概率P（X=1）的大小來下結論.

三、選擇適當的數字特征

數學期望反映的是隨機變量的總體平均水平，它是判斷或決策類問題的主要技術數據，是首先要考慮的內容；方差反映的是隨機變量的波動大小或集中度的技術數據，是輔助性的數據，在期望相同的情況下，再看方差的大小，作相應決策.

案例3 9有獎促銷廣告內容是否有欺詐問題，太湖啤酒廠開展秋季啤酒促銷活動，價格不變，在促銷啤酒的瓶蓋內各印有“暢飲太湖水”五個字中的一個字，規定顧客只要收集到一套“暢”“飲”“太”“湖”“水”五字的瓶蓋，即可免費領取1瓶普通太湖水啤酒.在公證處，公證的內容中說：在100萬瓶蓋內印有“暢”“飲”“太”“湖”“水”的啤酒各20萬瓶.由此廠方在銷售廣告中除了說明有獎銷售的辦法，還加了一句吸人眼球的廣告語“本次有獎促銷活動中獎率高，平均買10瓶即可獲獎一次”，問這句促銷廣告語是否有欺詐，公證處會否批準.

分析 1.設X為收集一套“暢”“飲”“太”“湖”“水”五字的瓶蓋所需購買的啤酒的瓶數，我們要考察E（X）是否不大于6.

四、考慮時間的潛在價值因素

時間就是金錢，有了充足的時間，往往可以降低成本，這是容易被人忽視的因素.

案例4 （最佳分段采購策略）某工廠須在四周內采購到10萬噸鐵礦石，估計鐵礦石每噸價格為200元的概率為0.2，300元的概率為0.55，400元的概率為0.25，試制定分階段采購策略，使采購價格的期望最小.

故最優采購材料為第一周價格低于265元就采購否則不采購，第二周價格低于281元就采購否則不采購，第三周價格低于305元就采購，否則不采購，第四周價格無論什么價格都采購.這樣，采購價格期望是252元，是最佳方案.

注 這里要從最后時間向前倒推的方法去分段探究解決.

以上用實例說明在解決評判與決策類問題中，應該重視的數學模型、數據，突出了數學期望的重要作用.說明了實際問題中應考慮時間因素及處理方法，這些都是解決評判與決策類問題中最重要的方法和值得注意的因素.

【參考文獻】

[1]陸家林，李大林.應用數學[M].北京：清華大學出版社，2009，8.

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