烤箱中的烤盤(pán)熱量分布問(wèn)題的研究

鄭錦龍

【摘要】本文主要研究了烤箱中烤盤(pán)的受熱分布問(wèn)題，利用傅里葉熱傳導(dǎo)方程，說(shuō)明對(duì)不同形狀的烤盤(pán)，其受熱分布不同.

【關(guān)鍵詞】烤盤(pán)；傅立葉熱傳導(dǎo)方程模型；受熱分布

一、引 言

當(dāng)在烤箱中烘烤一個(gè)矩形的烤盤(pán)時(shí)，熱量主要集中在烤盤(pán)的4個(gè)角落中.因此，在角落處的食物容易烤過(guò)了.當(dāng)用一個(gè)圓形烤盤(pán)時(shí)，熱量均勻地分布在整個(gè)盤(pán)子內(nèi)部及其邊緣處，所以，食物不易被烤過(guò)了.然而，大多數(shù)烤箱使用的烤盤(pán)形狀是矩形的，其效率不是很高.為了提高烤盤(pán)的效率，在給定的假設(shè)下，本文

解決了不同形狀的盤(pán)子其外部邊緣的熱量分布不同的問(wèn)題.

二、傅里葉熱傳導(dǎo)方程模型

傅里葉熱傳導(dǎo)方程模型能夠解決大多數(shù)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題.如果我們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中考慮的介質(zhì)是局部空間，而不是一個(gè)完整的空間，為了得到所建立方程的精確解，需要指定u的邊界條件.

1.模型的建立

在現(xiàn)實(shí)世界中，有很多與時(shí)間、熱量相關(guān)的物理現(xiàn)象可以通過(guò)熱傳導(dǎo)模型進(jìn)行模擬.該方法反映的是熱量從高溫點(diǎn)處向低溫點(diǎn)處傳播的一個(gè)過(guò)程.

本文中，考慮烤箱中的烤盤(pán)熱量分布問(wèn)題時(shí)，采用同時(shí)向各個(gè)方向傳熱的熱傳導(dǎo)方程.對(duì)于形狀是圓形的烤盤(pán)，本文在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)還考慮到了它的Dirichlet邊界條件：

并使用MATLAB求解了這一模型，獲得理想的結(jié)果.首先，列出不同形狀的烤盤(pán)的熱量分布，如矩形烤盤(pán)方案（圖1），圓形烤盤(pán)方案（圖2），以及圓角矩形烤盤(pán)方案（圖3）和橢圓烤盤(pán)方案（圖4）.這些圖片表明，不同烘烤方案中的外部的溫度（接近圓角和邊緣）比內(nèi)部的高.

根據(jù)上述四種不同形狀的烤盤(pán)的熱量分布圖，可以得出結(jié)論，烤盤(pán)的形狀越接近于圓形，熱分布越均勻.在烤盤(pán)面積一定的情況下，圓形，橢圓形和圓角矩形，矩形的烤盤(pán)熱量分布的均勻程度依次減小.此外，圓角矩形的熱量均勻分布程度與圓心角成正比.

2.模型的分析

對(duì)于該問(wèn)題，本文首先通過(guò)找出不同形狀的烤盤(pán)的外接圓，再以此圓心畫(huà)圓，假設(shè)當(dāng)?shù)诙蔚玫降膱A的半徑r與外接圓半徑R之比為0.9時(shí)，烤盤(pán)去除角落部分后熱量分布均勻.其次，通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真，并利用MATLAB軟件的畫(huà)圖功能畫(huà)出了不同形狀的盤(pán)子的邊緣受熱分布圖，發(fā)現(xiàn)其大致規(guī)律均為各個(gè)角落處溫度較高，盤(pán)子形狀越接近圓形其受熱越均勻.

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