運用導數信息繪制函數圖像

丁虹

【摘要】在研究函數特性時，往往需要知道函數的直觀圖像，利用函數的一階、二階導數可以繪制出函數較為精細的圖像.本文以三次函數為例，運用導數的知識來研究一般的三次函數的單調性和極值，曲線的凹凸性和拐點等問題，并綜合利用這些知識繪制了三次函數的圖像，為進一步描繪高次函數的圖像找到了有效的解決方法.

【關鍵詞】導數；三次函數；函數圖像

導數是近代數學的重要基礎，是微積分的初步知識，是聯系初、高等數學的紐帶.在研究函數特性時，往往需要知道函數的直觀圖像，利用函數的一階、二階導數可以繪制出函數較為精細的圖像.三次函數是導數內容中最簡單的高次函數，其導函數是二次函數.因此，三次函數是利用導數研究函數的一個重要載體.

一、基本概念及涵義

1.導數的概念：導數是函數在某一點的變化率，描述函數變化的快慢.導數的本質就是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近.函數y=f（x）的導數f′（x），就是函數值的增量Δy與自變量的增量Δx之比ΔyΔx，當Δx→0 時的極限.

2.三次函數的概念：最高次數項為3的函數，形如y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d為常數）的函數叫做三次函數.三次函數的圖像是一條曲線——回歸式拋物線，它不同于普通拋物線，具有特殊性.

二、導數的應用

（一）一階導數的應用

利用一階導數可以討論函數的單調性和極值.對于函數y=f（x），導數y′符號的變化與函數y的增減情況以及極值的關系是：變量x由小變大時，導數y′由正變為負，此時函數y由增變為減，且y=0時，函數y有極大值；變量x由小變大時，導數y′由負變為正，此時函數y由減變為增，且y′=0時，函數y有極小值.

（二）二階導數的應用

利用二階導數可以判定函數的極值、凸向和拐點，并可描繪函數的圖像.設f″（x0）=0，若f″（x0）>0（或f″（x0）<0），則f（x0）為極小值（或極大值）；在區間（a，b）內二階可導函數f（x），若對所有點x∈（a，b）有若f″（x）>0（或f″（x）<0），則曲線y=f（x）在區間內下凸（或上凸）；如果f″（x0）=0，且在x=x0的兩側f″（x）變號，則點P（x0，f（x0））為曲線y=f（x）的拐點.

三、描繪三次函數的圖像

（一）圖像描繪的步驟

1.確定函數y=f（x）的定義域及不連續點.

2.判定函數y=f（x）的奇偶性.如果函數y=f（x）為奇函數或偶函數，只需研究當x≥0時函數的性質，作出其圖像.而另一半曲線的圖像可由對稱性得出.

3.判定函數y=f（x）的周期性.如果函數y=f（x）為周期函數，只需研究其在一個周期內的函數的性質，作出其圖像，其余部分利用周期性可得.

4.求函數的一階導數y′.求函數y=f（x）的駐點，一階導數不存在的點，以確定函數的增減性、極值.

5.求函數的二階導數y″.求y″=0的點，y″不存在的點，以確定曲線的凹凸性和拐點.

6.確定曲線的漸近線，列出表格，描繪圖像.將上述所求得的結果按自變量由小到大的順序列入一個表中，并將函數的性態列入表中，然后描繪成圖像.

（二）三次函數四種圖像類型

三次函數是利用導數研究函數的一個重要載體.三次函數的導數是二次函數，因此，可用二次函數知識對三次函數的圖像和性質進行研究.

三次函數是實際問題中經常遇到的一類函數，由于三次函數自身的特點，它的單調性、駐點、極值點和它對應曲線的拐點有其內在的關系與特性，導數的應用為我們解決這些問題提供了有力的工具.

通常，我們可以用描點法作出的函數圖像，這種圖像一般是粗糙的，在一些關鍵點的附近函數的變化狀態，不一定能確切地反映出來.利用一階導數、二階導數及其某些性質，可以較為準確地描述函數動態.綜合應用一階導數判定單調性，二階導數判定凹凸性，對于復雜的初等函數圖像，我們根據其代數性質，就可以研究函數圖像性質.

【參考文獻】

[1]閻占立.微積分（下）.北京：高等教育出版社.2006.4.

[2]高級中學課本.微積分初步.北京：人民教育出版社.