構(gòu)造一元函數(shù)證明二元不等式的幾種常用方法

徐建新

近幾年，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，再由單調(diào)性證明不等式或比較大小是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是高考的熱點之一，尤其是二元不等式的證明，很多學(xué)生感覺無從下手.其實，用導(dǎo)數(shù)解決一元不等式問題是常見題型，如果能根據(jù)二元不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)的一元函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，就可以解決二元不等式的問題.本文針對二元不等式的證明或比較大小介紹幾種常見的構(gòu)造一元函數(shù)的方法.

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵在于如何適當(dāng)?shù)淖冃?，將不等式證明或比較大小的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的證明問題，本文中二元不等式的問題，首先變換成某一個一元函數(shù)，再通過求導(dǎo)判斷該函數(shù)的單調(diào)性，就可以解決這類二元不等式的證明或比較大小的問題.如何構(gòu)造輔助函數(shù)是這種通法運用的難點和關(guān)鍵，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，充滿思考性和挑戰(zhàn)性，需要有較高的數(shù)學(xué)能力，能全面綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材.通過對這類數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，能更好地培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平更上一臺階.