淺談不定積分求解

宋國珍

【摘要】不定積分的解法是以后學習定積分、重積分、含參量積分、曲線積分、曲面積分等的基礎，本文對不定積分的解法和一些特殊函數的不定積分做了簡單總結.

【關鍵詞】不定積分；換元法；分部積分法；有理函數的積分

不定積分的解法是以后學習定積分、重積分、含參量積分、曲線積分、曲面積分等的基礎，也是高等數學這門課程的靈魂，不定積分有直接積分法、換元積分法、分部積分法以及一些特殊函數的不定積分.這就使得不定積分解法具有很強的靈活性和技巧性，而在解決實際問題時需要對幾種方法加以綜合運用.因此這就需要對幾種基本積分方法有較深的理解和靈活的運用，以便于不定積分的求解.

一、直接積分法

直接積分法就是利用不定積分的概念和性質求不定積分，這種求不定積分方法的本質是：直接使用不定積分公式求解或者利用中學里常見的恒等變形或三角代換把被積函數整理為較易被積分的形式后再使用積分公式求解.直接積分法雖然簡單但也是以后學習其他不定積分方法的基礎，是掌握好其他不定積分的方法的基礎.

二、換元法

1.第一類換元法

第一類換元法又稱湊微分法，其關鍵便是這個“湊”字，即：如何把被積函數中的一部分湊到微分號后面，使得被積函數和微分號后含有相同的部分，再把相同的部分用中間變量u替換后，恰好湊成積分公式的形式.因此，要想掌握好第一類換元法，就必須熟練掌握積分公式，才能達到靈活應用.

但在實際問題中，不是所有的不定積分用單一的方法就可以求解，有些需要連續使用幾次分部積分法； 有些還會出現與原不定積分同類的積分，需要經過移項合并；有些則需要換元法與分部積分法的混合運用.總之，就是把復雜問題轉換為我們熟悉的問題，利用已有的知識解決新問題.

當然，除了以上這些求積分的基本方法，隨著科技的發展我們還可以使用計算器T1-92、HP39gs或者數學軟件Mathematica6.0，Maple來求積分，但這些方法也需要以前面的基本積分方法為基礎.因此，只有熟練掌握基本積分方法并加以靈活運用，才可以更好、更快地求解積分問題.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001，176-199.

[2]袁春燕.求不定積分的幾種方法[J].科技創新導報，2010，（06）：251.