洛朗級(jí)數(shù)求積分問(wèn)題在工程數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

王斌　李璇　馮明勇

【摘要】本文結(jié)合工程數(shù)學(xué)課程中利用洛朗級(jí)數(shù)求積分問(wèn)題的實(shí)例，對(duì)學(xué)生在工程數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中容易混淆的求積分方法進(jìn)行了分析、比較與歸納總結(jié)，并且對(duì)于本課程中洛朗級(jí)數(shù)與其他章節(jié)之間的聯(lián)系作了詳細(xì)闡述，以供參考和借鑒.

【關(guān)鍵詞】洛朗級(jí)數(shù)；高階導(dǎo)數(shù)公式；留數(shù)

1.工程數(shù)學(xué)中的洛朗級(jí)數(shù)

學(xué)習(xí)工程數(shù)學(xué)這門課程的最終目的是使學(xué)生能夠結(jié)合所學(xué)的理論，以實(shí)際情況為背景，對(duì)客觀現(xiàn)象進(jìn)行深入分析，找出其存在的問(wèn)題，并策劃出解決問(wèn)題的方案.因此，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)適當(dāng)?shù)貙⒔滩闹械膬?nèi)容進(jìn)行擴(kuò)展，介紹一些工程數(shù)學(xué)理論在其他領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例，可以使學(xué)生在體會(huì)到該課程知識(shí)理論應(yīng)用的同時(shí)，也提高了自身的實(shí)際應(yīng)用能力.工程數(shù)學(xué)課程是各個(gè)高校工科專業(yè)的學(xué)生在具有了高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，為了能夠用更加方便的理論工具來(lái)處理工程中常見(jiàn)的問(wèn)題而開(kāi)設(shè)的一門課程.

2.工程數(shù)學(xué)中的洛朗級(jí)數(shù)教學(xué)

不同高校所開(kāi)設(shè)的工程數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容與課時(shí)根據(jù)其實(shí)際情況都有所不同，關(guān)于工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容或者方法的改革與探討較多，既有對(duì)于教學(xué)方法、教學(xué)策略的探討，也有關(guān)于具體數(shù)學(xué)工具及應(yīng)用類的分析.筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)由于受本課程的課時(shí)限制以及學(xué)習(xí)方法不當(dāng)，對(duì)于本課程中計(jì)算復(fù)變函數(shù)沿著閉曲線積分問(wèn)題的理解不夠深刻，各個(gè)章節(jié)之間的聯(lián)系認(rèn)識(shí)不足，所以促使筆者產(chǎn)生了拋磚引玉的想法，對(duì)于如何利用洛朗級(jí)數(shù)求積分問(wèn)題，本文進(jìn)行了仔細(xì)梳理和分析.在工程數(shù)學(xué)課程的復(fù)變函數(shù)部分仔細(xì)介紹了利用洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式來(lái)計(jì)算沿閉曲線復(fù)變函數(shù)積分，隨后又介紹了利用留數(shù)方法（即洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中負(fù)一次項(xiàng)系數(shù)C-1）來(lái)計(jì)算沿閉曲線復(fù)變函數(shù)記分，很多同學(xué)由于這兩部分內(nèi)容前后相鄰并且都是需要計(jì)算C-1而混淆其不同之處.本文借助課后習(xí)題中的一個(gè)典型習(xí)題的多種解法，揭示上述兩種解法的不同點(diǎn)以及常見(jiàn)的四種解法的優(yōu)劣之處，以供參考和借鑒.

雖然工程數(shù)學(xué)的內(nèi)容抽象，概念定理多，計(jì)算較繁瑣，但這些都是實(shí)際生活中一些問(wèn)題的抽象，它來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活.如果在教學(xué)過(guò)程中能夠準(zhǔn)確把握住課程內(nèi)容與學(xué)生生活實(shí)際及所學(xué)專業(yè)的結(jié)合點(diǎn)，從知識(shí)的背景及生活、專業(yè)的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)設(shè)計(jì)出一些應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行講解，可以使工程數(shù)學(xué)知識(shí)不再是抽象的理論，而是解決專業(yè)問(wèn)題的有利數(shù)學(xué)工具，打破傳統(tǒng)的“算數(shù)學(xué)”模式，代之以用數(shù)學(xué)工具解決各種問(wèn)題的“用數(shù)學(xué)”模式，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)工程數(shù)學(xué)是一門工具學(xué)科的感性認(rèn)識(shí).主動(dòng)向?qū)W生闡明學(xué)習(xí)該知識(shí)的目的及應(yīng)用，使其能夠利用所學(xué)知識(shí)去思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的是運(yùn)用，加強(qiáng)應(yīng)用能力的培養(yǎng)不僅是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要途徑.在工程數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用應(yīng)用實(shí)例正是加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用能力培養(yǎng)的手段，具有可行性.

3.工程數(shù)學(xué)中的典型例題求解

解法1 利用洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式，首先構(gòu)造解析同心圓環(huán)形區(qū)域：1<|z|<+∞（C 包含于上述圓環(huán)形區(qū)域內(nèi)部，且有相同圓心），雖然滿足洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)條件的圓環(huán)形區(qū)域是不唯一的，包括圓心及半徑都可以不同，但是為了計(jì)算方便，我們經(jīng)常選取同心圓環(huán).被積函數(shù)在上述圓環(huán)內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式可依據(jù)下式計(jì)算得出：

綜合比較上述四種解法，各有其優(yōu)缺點(diǎn).由于洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法變化較多，某些函數(shù)甚至無(wú)法用常用方法展開(kāi)，所以解法1有一定局限性.表面上看起來(lái)解法2最簡(jiǎn)潔，但實(shí)際上能夠利用柯西公式和高階導(dǎo)數(shù)解決的積分只占很少的一部分，因?yàn)闈M足柯西公式和高階導(dǎo)數(shù)的被積函數(shù)類型是有非常強(qiáng)的限制條件的.

4.結(jié) 論

因此，同學(xué)們?cè)谇蠼庋亻]曲線復(fù)變函數(shù)的積分時(shí)應(yīng)該仔細(xì)分析被積函數(shù)和積分曲線的特征，根據(jù)具體題目靈活選擇合適的求解方法.就筆者看來(lái)，在工程數(shù)學(xué)課程中計(jì)算沿著閉曲線的復(fù)變函數(shù)積分時(shí)大家也應(yīng)該很好的掌握與留數(shù)有關(guān)的解法，因?yàn)榱魯?shù)的計(jì)算不僅在復(fù)變函數(shù)部分很重要，而且在工程數(shù)學(xué)課程的最后與工程技術(shù)應(yīng)用緊密相關(guān)的Laplace變換部分，很多Laplace逆變換的計(jì)算也是通過(guò)留數(shù)計(jì)算得出的.總而言之，洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)方法并不僅僅是工程數(shù)學(xué)課程中一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的部分，對(duì)于洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)的詳細(xì)分析不但有助于我們分析理解復(fù)變函數(shù)奇點(diǎn)的分類，還有助于我們計(jì)算不同類型奇點(diǎn)的留數(shù)，進(jìn)而可用來(lái)求Laplace逆變換等.相信通過(guò)本文對(duì)于上述兩種解法優(yōu)缺點(diǎn)的詳細(xì)分析與比較，一定能夠幫助讀者們進(jìn)一步理解工程數(shù)學(xué)中洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)方法在求解沿閉曲線積分計(jì)算中所起到的重要作用.