《圓》課程難度變化及其對教學指導的探究

施學星

【摘要】本課題組成員鄭澤娜借助史寧中教授等人的課程難度量化分析模型撰寫了文章《圓課程難度的定量分析比較》，并發表于《數學學習與研究》雜志.本文在上述文章的基礎上，進一步探究我國2000年的《全日制九年義務教育初中數學教學大綱（試用修訂版）》（以下簡稱《大綱》）與2011年的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）圓課程難度的變化對初中教師的教學實踐的指導.

【關鍵詞】圓；課程廣度；課程深度；實施時間；課程難度；教學指導

【基金項目】2015年度廣東大學生科技創新培育專項資金項目：基于課程難度定量分析模型下的初中幾何課程難度研究（課題編號：201410578047）.

教學啟發

基于《圓課程難度的定量分析比較》可知，與《大綱》相比，《標準》中圓的課程內容難度大大減小了.由于《大綱》和《標準》中該模塊的課程廣度、課程深度和課程實施時間均發生了較大的變化，以下將具體分析課程廣度、課程深度、課程實施時間和總體課程難度變化四個方面對教學實踐的啟發和指導.

（一）課程廣度變化對教學實踐的指導

基于《圓課程難度的定量分析比較》可知，《大綱》中圓課程內容的知識點合計37個，取綜合的課程廣度系數為G1=37；《標準》中圓課程內容的知識點合計24個，取綜合的課程廣度系數G2=24.

《標準》中該模塊的課程內容與《大綱》中的相比，變化幅度比較大.諸如弦切角定理、相交弦定理、切割線定理、兩圓的連心線、公切線性質等知識點，原本在《大綱》中是很重要的內容，但在《標準》中已經沒有這部分的內容.而《標準》中也增加了一部分的知識點，如：直角三角形斜邊中線的性質，確定圓的圓心，過圓外一點作圓的切線等.

教師在具體教學實踐中，要注意把握好教學要求，緊緊圍繞新的教學要求.教學內容應當限制在《標準》所出現的范圍，教學中不要再揀回那些已經被刪除的內容以及其延伸出來的題目，特別是那些怪題、難題，以免增加學生的負擔，影響學生對基礎知識的學習.現以《大綱》中圓課程的經典例題為例.

例1 “已知PT切圓O于T，PBA為割線，叫OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4 cm，AD=3 cm，求PB的長.”

例2 “證明：相交兩圓的連心線，垂直平分兩圓的公共弦（連心線：連接兩圓的線段）”

例1要求學生在掌握運用相交弦定理、切割線定理求得各線段數量關系的基礎上，再利用勾股定理求得答案，題目中所運用到的相交弦定理、切割線定理在《標準》中已經被刪除，所以這一類題目都不應再繼續講解.而例二不只是簡單呈現圓心距與兩圓半徑大小，而是要求學生在掌握判斷兩圓位置關系的基礎上，學會如何利用圓與圓的位置關系來證明兩圓位置連心線，公共弦的位置關系，題目對學生來說具有一定難度，所運用到的兩圓的連心線、公共弦與《標準》中的教學要求不一致，也不應再繼續講解.

（二）課程深度變化對教學實踐的指導

基于《圓課程難度的定量分析比較》可知，《大綱》中圓課程內容對應的課程深度值合計78，故取綜合的課程深度系數為=78；《標準》中圓課程內容對應的課程深度值合計55，故取綜合的課程深度系數為=55.

《標準》對《大綱》中該模塊的知識點進行了較大規模的刪除，如弦切角定理、相交弦定理、切割線定理、兩圓的連心線等，同時也增加了一些知識點，如確定圓的圓心等，而保留下來的知識點深度要求也普遍有所降低，如圓的切線的判定、切線成定理等，進而使得知識點涉及面較少，要求學生掌握的知識點深度降低，降低了總體的課程深度.

因而，教師在進行教學的過程中應當扣緊新的教學要求，針對標準的知識點進行課堂教學，不要再講已經刪除的知識點及其延伸出來的題目，而深度降低的知識點延伸出來的難題、怪題也不要再繼續講解.教學過程中像一些圓的有關性質以及相關結論的證明，這些應控制難度，對于一般學生，控制在教科書“綜合應用”的題目難度以內，對于學有余力的學生，可以要求他們完成“拓廣探索”欄目的習題.還有，教師應讓學生多動手多動腦，加深學生對基礎知識點的理解與掌握，結合一些實際問題，使學生實現由具體到抽象，特殊到一般的認識上的飛躍，培養學生的數形結合能力、發散思維能力和推理能力.現以《標準》中的一道經典例題為例.

例3 “已知兩圓半徑之比是5∶3，如果兩圓內切時，圓心距等于6，問當兩圓的圓心距分別是24，5，20，0時，相應兩圓的位置關系如何”.

例3只要求學生掌握判斷兩圓位置關系，只要知道圓心距d與兩圓的半徑大小，便可判斷兩圓的關系，解題思路簡單清晰，考查學生對兩圓位置的數量認識與形象思維的聯想能力，不像上述例二，不僅僅要求學生掌握判斷兩圓位置關系，還需要運用兩圓位置連心線，公共弦的位置關系.所以教師在教學過程中應當圍繞新的教學要求，積極引導學生動手動腦，培養學生的空間想象能力，動手能力，分析、概括等理性思維的能力.

（三）課程實施時間變化對教學實踐的指導

基于《圓課程難度的定量分析比較》可知，《大綱》下的教科書中圓課程教學安排30個課時，故取綜合的課程時間為T1=30；《標準》下的教科書中圓課程安排20個課時，故取綜合的課程時間為T2=5.相比于《大綱》，《標準》中該模塊的課程實施時間減少了10個課時，但由于課程廣度與課程深度的大大減小，使得教師在課堂教學中仍有足夠的時間去講解分析.部分知識點的刪除，這啟發著教師在課程教學中切勿將時間浪費在已被刪除的知識點及其延伸出來的題目，而應緊緊圍繞《標準》的教學要求，將時間用在新教學要求內容上.

另一方面，新標準和新要求，學生的學習主動性增強了，學生活動多了，教學進度就會受到影響，而課程實施時間的減少，也啟示著教師在具體實踐教學中應分析學生、分析教學內容、分析課程標準和分析教學目標，并且改變教學觀念、教學方法，運用現代信息技術，以此提高課堂的教學效率.且在時間允許的情況下，完成《標準》中的許多探索將對學生更好的掌握知識有著很大的幫助，從而培養學生的發散思維能力和推理能力.

（四）課程難度變化對教學實踐的指導

基于《圓課程難度的定量分析比較》可知，《大綱》和《標準》中圓課程的綜合課程難度分別為，（其中，α=0.6）.相比于《大綱》，《標準》中圓總體課程難度系數大大降低了，即該模塊的課程難度大大降低了.課程廣度、課程深度、課程實施時間三個方面的變化，歸根結底就是課程難度的變化.基于上述分析可知，相比于《大綱》，《標準》中圓課程中知識點的進行了較大規模的刪除，使得課程廣度大大減小，知識點涉及面較少，要求學生掌握的知識點減少；深度方面也大大地降低，而課程實施時間的變少，最終總體課程難度也降低了.

《標準》的課程內容增強了對課程目標服務的選擇性，為數學教學內容指出了方向，根據時代發展要求，刪除了一些不常用和難度較大的知識點，諸如相交弦定理、切割線定理、公切線性質等知識點，使得教育面向全體學生，減輕部分學生過重的學習負擔.在知識點掌握上旨在擴寬學生的見識面，增加了與現實生活和科技發展相需求的知識點，如：確定圓的圓心、過圓外一點作圓的切線等，體現了新課標理念，數學與實際相聯系，最大程度地發展學生用數學，在學習中提高自己的操作能力，體會數學從生活中來，最終服務于生活.在新課程的潮流下，廣大的教師在實踐教學中都應有所調整，不能“教新的，不忘老的”，尤其是一些年齡較大的教師，不能順著老思路，講解被刪除的知識點及其延伸出來的題目，應緊扣新的教學要求進行具體的實踐教學，讓學生多動手多動腦，加深學生對知識點的理解與掌握.該部分題目也相對以前比較復雜，教學時應注意多幫助學生復習之前所學的有關知識，做到以舊帶新、新舊結合，并且要加強解題思路的分析，幫助學生掌握由具體到抽象，特殊到一般的思想方法.教學時，選擇一些實際問題，引導學生加以解決，幫助學生從生活中發現數學問題、運用所學知識解決實際問題，提高他們應用知識解決問題的能力，并培養學生的數形結合能力、發散思維能力和推理能力.在課程時間方面，教師在面對不同程度的學生時，應準確的理解新課程理念，學會運用恰當的教學方法，激發學生的學習興趣，提高學生的學習主動性，并在較短的時間里把知識講清楚，使學生掌握接受所學知識.

【參考文獻】

鄭澤娜.圓課程難度的定量分析比較 [J].數學學習與研究，2015，（9）：38～39.