復合函數求導法的教學剖析與例題設計

【摘要】本文對復合函數求導法的教學進行了剖析，依據基本初等函數，精心設計了5組例題，并對例題的教學使用做了闡述，提高了復合函數求導法的教學質量.

【關鍵詞】復合函數求導法；教學；剖析；例題設計

一、對復合函數求導法的剖析

函數求導法則中復合函數求導法，除本身就是一種重要的求導方法外，也是推出其他求導法的基礎（如隱函數求導法、對數求導法等）.從復合函數求導法的使用來看，由于中間變量的數量可以涉及多個，而且選擇靈活性大、技巧性強，具體的解題過程還常常隱去中間變量的書寫，所以，復合函數求導法是整個函數求導法的重點和難點.

1.復合函數求導法的核心關鍵詞——“中間變量”

①中間變量的選擇.準確選擇中間變量，把復合函數“分解”為基本初等函數，是使用復合函數求導法的前提，也是關鍵所在.否則，就無法使用復合求導法求導；②中間變量數量.復合函數的中間變量多數情況下可能多于一個，即復合關系有多層；③中間變量的書寫.初學時需要明確寫出中間變量，采取不用連續等號表示的解題過程；當比較熟練后（特別是有多個中間變量時），解題過程卻是采用不直接寫出中間變量、用連續等號表示的“實用形式”；④使用復合函數求導法的同時可能還涉及其他的求導法則.如求函數y=2xsinx2的導數就涉及乘法法則、求函數y=ln（x+x2+1）的導數中，在對中間變量u=x+x2+1求導時就涉及了加法法則.

2.例題設計存在的主要問題

例題的設計直接影響著教學的質量，目前復合函數求導法的教學例題普遍存在著以下問題：①例題設計沒有很好的體現基本初等函數的作用.目前教材中例題的呈現形式是多種函數類型、單個中間變量與多個中間變量、寫出中間變量和不寫出中間變量三種知識方法相互摻雜，客觀上增加了學習的難度.②教學的條理性、層次感體現的不夠.復合函數求導法的教學，分為只有一個中間變量的基礎層次和多個中間變量的熟練層次.③數學的思想和方法體現不夠.復合函數的求導，就是將其轉化為基本初等函數的求導，要通過例題的示范，滲透化歸、類比等重要的數學思想和方法.

二、例題設計與呈現次序

經過多年的教學探索，我們按照基本初等函數的呈現次序，圍繞中間變量的選擇這個核心，將整個教學過程分解為“基礎”與“熟練”兩個層次，設置下列5類例題.

求下列函數的導數：

例1 冪函數系列

三、五組例題的使用

1.單組例題用于“初級”層次的教學

“初級”層次的教學目標是：依據基本初等函數的類型，使學生能準確的選擇中間變量，在使用法則求導、還原變量并化簡的基礎上，逐漸由明確寫出中間變量的“分析解題表示”過渡到不明確寫出中間變量“實用形式”，基本掌握復合求導的思想和方法，形成思維定勢.

①預前知識的復習與教學引入.對基本求導公式進行拓展變形，為復合函數的求導法做好鋪墊.將基本求導公式中自變量的表示符號x換寫為字母u，t，v等，突破只用字母x表示自變量的思維定勢.

②例題的使用

1）例1 既用于法則的引入，也用于冪函數系列中間變量的確定.先讓學生思考，然后師生共同分析：（1）中的函數y=x+1可以使用加法法則求導，而y=（x+1）2，y=（x+1）3，可以按多項式的展開后使用加法法則求導；但y=（x+1）4與y=（x+1）n的求導那？隨著次數的增高，再用展開法就顯得比較麻煩，更重要的是沒有解法上的創新.分析這兩個函數的結構發現（以y=（x+1）n為例），只要令u=x+1，則函數y=（x+1）n就是y=un與u=x+1構成的復合函數，而y=un與u=x+1都是基本初等函數，其導數易求的（或者是已知的），那么y=（x+1）n的導數與y=un，u=x+1的導數有何關系？這種情境式的引入方式，不僅起到引入復合函數求導法的作用，重要的是讓學生體會復合函數求導法能起到化繁為簡、化難為易的目的，滲透化歸的數學思想和方法，通過師生互動，對形如y=[φ（x）]α（α≠-1）的冪函數，如何求導、如何選擇中間變量，學生很快就能掌握（要板書呈現求解過程）；

2）例2用于進一步熟悉中間變量的確定規律.通過分析與引導，學生很快就能掌握形如y=eφ（x）或y=aφ（x）中間變量的選擇方法以及類似復合函數的求導問題；

3）例3—例5用于教師指導下的學生探索，進一步掌握中間變量的確定規律以及公式的使用.在前兩個例題講解的基礎上，教師加以適當的引導與提示，通過類比，學生很快就能解決例3—例5中函數中間變量的選擇方法及求導.

以上5組例題，緊扣基本初等函數，只有一個中間變量，重點突出，便于總結規律，形成思維定勢；從教學方法上看，講練結合，學生有思考和動手的機會，較快的完成初級層次的教學目標，為熟練層次的教學做好準備.

小結如下：

4）拓展提高.涉及兩個方面：一是對上述例題的拓展變形，比如將正弦函數換成余弦函數、切函數、割函數又該如何選擇中間變量？也可以引導學生將u=φ（x）替換為其他的表達式（替換與求解過程可交給學生作為練習，既節省課堂時間，提高效率，又鍛煉學生的能力）；二是將寫出中間變量的解題過程轉化、換寫為不寫出中間變量的表達形式，熟練掌握只有一個中間變量時的求導.

2.不同例題的組合用于熟練層次的教學

“熟練”層次的教學目標是：要求學生面對多個中間變量的復合函數，突破第一層次的定勢思維，形成變勢思維.能針對不同類型的復合函數，用不寫出中間變量的“實用形式”，準確、熟練的使用復合函數的求導法則.為達到這個目標，突出本層次的教學重點，需要對例題進行調整：①例題的組合使用.以前面的5類例題為基礎，適當組合、搭配，構造出多個中間變量的復合函數，用以熟練層次的教學.如將例2的函數y=ex+1的指數x+1替換為例1中函數y=（2x+1）2即可得到y=e（2x+1）2，這就是一個具有兩個中間變量的復合函數.這樣做的優點是：以前面的教學為基礎，淡化計算，突出重點，不因復雜的計算和化簡干擾多個中間變量的選擇以及使用法則求導.②適當補充新例題.為形成變勢思維，真正掌握復合函數求導法的思想，可以重新設計部分新例題（或習題），用于結合其他的求導方法.如：求函數y=2xsinx2、y=ln（x+x2+1）的導數，等等（在此略）.

總之，如何進行例題設計用于教學，是一個值得我們探討的問題.我們設計的5類例題，相互銜接、循序漸進.單組使用可以培養思維定勢；組合使用可以培養變式思維，對提高復合函數求導法的教學質量，效果良好.

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