讓數學思維走向深刻

周秋英

【摘 要】探究是一種主動地發現問題、提出問題、解決問題的探索過程，并直接影響學生思維能力的發展。小學數學教學，即為數學思維活動的教學，沒有數學思維，就沒有真正意義上的數學學習。質疑問難 “想”探究，拉伸思維長度； 善于捕捉“敢”探究，拓展思維寬度；暢所欲言“曬”探究，提升思維高度。

【關鍵詞】數學思維 探究 深刻

探究是一種主動地、獨創地發現問題、提出見解的探索過程，從而揭示本質規律及內在聯系，并產生新穎獨特的想法，提出創造性的見解。探究不僅是一種心智活動，更是一種發現知識、積極探求的心理取向，是一種自主探索的行為。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）強調：“數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。”小學生精力旺盛，想象豐富，興趣廣泛，求知欲強烈，探究活動便成為培養和發展思維的沃土。下面筆者結合教學實踐來談談自己的一些做法。

一、質疑解惑式探究——拉伸數學思維的長度

有了問題才會思考，有了思考才有解決問題的方法。當兒童面臨某一個問題而不解時，教師要根據學情指導學生自由進行個性化的數學探究，經歷深刻的個體思維體驗，在探究中不斷豐盈自己的知識。學生探究數學問題的過程，就是經歷數學本質學習的過程，通過自己的探究，收獲某種關系、發現某種規律，探索創新精神和科學研究的方法。

【案例1】

上完“角的度量”一課，一位學生拿著“量角器”追出教室，異常興奮地說：“老師，我發現量角器上外圈的度數與（對應的）內圈度數相加總是180°。”外圈刻度10°，對應的內圈刻度為170°；外圈刻度20°，對應的內圈刻度為160°；……”這樣一個發現會令一位孩子如此興奮和激動！在他們的思維世界中，又會有什么獨特的解釋呢？筆者讓全班同學一起進行了研究。

生：我發現量角器的內圈和外圈對應刻度加起來都是180°，這是因為這兩個角可以拼成一個180°的角，如一個角是40°，另一角是140°。因為一個平角，隨意畫一條斜線，兩個角加起來一定是180°。其實，量角器不就是將半圓（即平角）等分成了180份么？

生：我想，之所以有這樣的規律是因為一個平角的度數是180°，把一個平角分兩個小角，一個角的“0刻度”在左，一個角的“0刻度”在右，兩個角的度數拼起來就是180°。我還發現在一個平角內畫一個角，這個角的一條邊和平角的一邊重合，如果小的一個角為20°，大的一個角就是160°。

生：我發現量角器內圈的度數與對應外圈的度數相加都是180°，比如130°和50°，140°和40°，150°和30°……因為兩個角在平角內進行分割，所以兩個角的和是180°。

生：因為一個平角的度數是180°，外圈的度數增加10°，內圈的角度就減少10°，所以總還是180°。（該生的思維呈現方式是動態的）

生：我發現內圈和外圈加起來的和都是180°，因為兩方都是從0刻度開始的，但方向卻是相對的，只要一方增加10°，另一方便會減少10°。

生：因為從外圈看150°，還有30°才到180°。從內圈看30°，還有150°才到180°。

師出示下圖：

師：真像“相遇問題”，當兩人相遇時，甲行的路程+乙行的路程=總路程，而此處，甲行的路程為外圈度數，乙行的路程為內圈度數，總路程為180°。

生：因為每個量角器的兩個0刻度都是一個在左邊，一個在右邊，所以一個是從左邊轉過去，一個是從右邊轉過去。所以它們就會在中途相遇，加起來就一定是180°。

思則變，變則通，通則活。學生在發現、質疑、探究的過程中，獲得的不僅僅是某一知識，更重要的是經歷了嚴謹而深入的探究過程，收獲了探究經驗與思維習慣，享受了樂此不疲的思維過程，拉伸了“數學思維”的長度。

二、 體驗實踐式探究——拓展數學思維的寬度

數學知識的學習過程，就是學生對數學知識的探究過程。學生的思維發展是他人不可代替的，只有給予充分探究的時間與空間，以學生自己喜歡的方式自由探索、發現、交流，讓不同層次的學生真正經歷一個自主探索的過程，從而有效拓展“數學思維”的寬度。

【案例2】

蘇教版教材四年級下冊“三角形的分類”教學中有這樣一道題目：“紅領巾上有一個（ ）角，兩個（ ）角”。很多學生填一個“直角”，兩個“銳角”。他們認為，既然都說“紅領巾”是五星紅旗的一角，那么應該有一個角是直角。

學生的想法是純樸的、真實的，而且有這樣想法的比較多。看來，放手讓他們來一次實踐體驗式探究，才能解開這個“為什么”？下面是學生的研究結果。

生：經過測量，紅領巾有兩個銳角，一個鈍角，兩個銳角都是30°，一個鈍角是120°。我發現如果頂角的度數越大，底邊就拉得越長；頂角的度數越小，底邊就越短；我想，紅領巾底邊越長，戴紅領巾就比較方便，也許這就是紅領巾設計成鈍角三角形的原因。

生：今天我把紅領巾好好研究了一下，我先把紅領巾三個角的度數量出來，分別是120°、30°和30°。為什么紅領巾設計成鈍角三角形而不是直角三角形或銳角三角形呢？為了解開這個疑問，我動手剪了這三種三角形，發現直角三角形和銳角三角形根本系不起來。現在我知道為什么我們的紅領巾要設計成鈍角三角形了，是為了方便我們的佩戴。

生：同學們常用的紅領巾是由一個鈍角、兩個銳角組成的鈍角三角形。為什么這樣設計呢？如果做成銳角三角形，那它們是很難系住的，只有當一個角的度數越大，那么它的底邊就越長，圍在脖子上就越方便。

生：每位少先隊員都佩帶著紅領巾，每一條紅領巾都是三角形的。我先拿出量角器量了紅領巾的三個角，分別是120°，30°，30°。為什么紅領巾是個鈍角三角形呢？要是換成直角、銳角三角形可以嗎？……一些問題出現在我的腦海中。我先用布做了直角三角形、銳角三角形，再給毛絨熊戴上，可是結打不起來。我以為太小了，再做了個大的，結果結還是不好打。我終于發現，打結打不了的原因是直角三角形、銳角三角形的另外兩個角太大。紅領巾設計成鈍角三角形，另外兩個角小，我們的紅領巾就容易打結了。

生：在佩戴紅領巾的時候，我發現，紅領巾最大的角是一個鈍角，所以它是個鈍角三角形，把它對折一下，兩邊剛好重合，所以還是一個軸對稱圖形。紅領巾這樣設計，戴起來好看又整齊。

學生的研究，求證了紅領巾為什么是鈍角三角形的“真相”。在解決問題的同時，又鍛煉了自己的能力，并在生活知識與數學知識之間構架了橋梁，打通了數學與生活的聯系。

三、互動分享式探究——提升數學思維的高度

課堂是學生馳騁思維的地方，更是自由創造的場所。課堂時空有限，但學生的創新能力無限。他們獨特的思考角度、思維方式都會給課堂帶來無窮的教學驚喜。互動交流，分享智慧，通過對話溝通，進行思維碰撞，從而發現規律發現自我，提升數學思維的高度。