勾股定理在“數形結合”中的巧妙運用

黃鄭

【摘 要】勾股定理是幾何中一個重要的定理，它揭示了直角三角形三條邊之間的數量關系，它可以解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要依據之一。教師在授課中應選取典型例題進行講解，灌輸“數形結合”的思想，提高學生對定理的理解和綜合運用。

【關鍵詞】勾股定理；直角三角形三邊數量關系；“數形結合”

勾股定理是描述直角三角形三邊特殊關系的重要定理，其內容是在任意直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。在研究與直角三角形三條邊長有關的計算問題時，勾股定理都有著重要的應用。教師在講述《勾股定理》的內容時，要精選例題，結合實際圖形分析講解，培養學生識圖分析能力和“數形結合”的數學思想，提升綜合應用能力。

有這樣一道題目：如圖，在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=7，求△ABC的面積。

這道題目不能直接用三角形的面積公式來求解，而是要運用與“勾股定理”相關的知識以及添加輔助線的方法進行解答。其解決思路是：過點C作AB邊上的垂線，垂足為點D（如圖1所示），于是就把原三角形分成兩個直角三角形，分別是Rt△ACD和Rt△BCD，它們有公共的直角邊CD，斜邊分別是AC和BC，運用勾股定理可以得出：

AD2+CD2=AC2，BD2+CD2=BC2，所以CD2=AC2-AD2，CD2=BC2-BD2，于是得出AC2-AD2=BC2-BD2；設AD的長為x，則BD的長為7-x，而AC=5，BC=4，代入上述的結論中可得出方程：52-x2=42-（7-x）2，解方程得出x=，再在Rt△ACD中運用“勾股定理”就可求出CD的長（也可在Rt△BCD中運用“勾股定理”求出CD的長），這樣在△ABC中，應用三角形的面積公式就可求出原三角形的面積了。

此題也可以作AC或BC邊上的高，方法與上述解法類似。在講解過程中，教師要引導學生分析本題圖形存在的不同情況，培養學生“分類討論”的思想，即當三角形變為鈍角三角形時，如圖2，若作BC邊上的高AD，此時形成的兩個直角三角形是Rt△ACD和Rt△ABD，它們公共的直角邊是AD，斜邊分別是AC和AB，運用勾股定理并轉換之后得出的等式是AC2-CD2=AB2-BD2，此時可設CD的長為x，則BD的長為x+4，于是得出方程52-x2=72-（x+4）2，解方程得出x=1，再在Rt△ACD或Rt△ABD中，運用勾股定理求出AD的長，再求原三角形的面積。

通過上述問題的分析與解答，不難看出“勾股定理”的運用與方程有著十分緊密的聯系，很多幾何圖形的計算問題都可以通過設未知數，建立方程來求解，因此，教師在講解勾股定理在“數形結合”中的運用時還要有意識地向學生灌輸“數學建?！钡乃枷?。

教材中有一道例題：如圖，一架長2.6米的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4米；如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子的底端B也外移0.5米嗎？

很多學生會誤認為A點下滑的長度與B點外移的長度是相等的，這是認識上的誤區。本題的關鍵是要通過計算求出線段BD的長度，與線段AC的長度比較才能得出結論；而要求線段BD的長度，就要先運用勾股定理求出線段OD、OB的長度。因此，在指導學生識圖分析時，要理清條件之間的關系和求解的步驟，要讓學生明確題目的解答思路，才能取得較好的學習效果。

本題的解答思路是：先在Rt△ABO中運用勾股定理直接求出線段OB的長度；由梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，求出線段CO的長；再在Rt△CDO中運用勾股定理求出線段OD的長度，最后用OD減去OB就求出BD的長，再與AC的長比較，得出問題的答案。

在教材中有一道題目：如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上；求證：AE2+AD2=2AC2。

這道題目要求證的結論中的三條線段AE、AD、AC沒有直接的關系，因此要通過（相等）線段的轉換，在同一個直角三角形中運用勾股定理才能找到關系，得出結論。其解題思路是：有條件可知AC=BC，所以2AC2可以轉換為AC2+BC2，而在Rt△ACB中AC2+BC2=AB2，所以2AC2=AB2，這里用到了數學中的“轉換思想”；而本題的難點在于要連接BD，如圖3所示，于是運用已知條件可以得出一組全等的三角形△ACE和△BCD，從而就可以把線段AE轉換為線段BD，同時得出∠BDC=45°，因為∠ADC也等于45°，所以∠ADB=90°，這樣AE、AD兩條線段就轉換為直角三角形ADB的兩條直角邊BD和AD，于是運用勾股定理可得出BD2+AD2=AB2，所以AE2+AD2=BD2+AD2=AB2=2AC2。

這道題目的難易度屬于中等偏難的程度，教師在授課過程中要注重引導學生結合圖形去觀察、分析和猜想，理清思路，發現題目中蘊含的數學思想和方法，以及條件和所求問題之間的相互聯系，提升學生對“數形結合”思想的理解和應用。

“數形結合”是數學中常用的、重要的思想方法之一，華羅庚教授就曾指出：“數缺形時少知覺，形少數時難入微”，勾股定理在“數形結合”中的運用只是“數形結合”這一思想方法的一個方面的體現。我們在研究幾何圖形中的數量關系時，一定要結合圖形直觀地去探索和研究，不能空洞地思考；反之，幾何圖形中又蘊含了與其緊密聯系的數量關系，很多圖形的問題，往往又要用到代數的相關知識去求解。因此，在教學過程中，要辯證地看待“數”和“形”之間的關系，把二者有機地結合起來，幫助學生正確養成“數形結合”的數學思想，提升學生的識圖分析能力、邏輯推理能力和綜合解題能力。

【參考文獻】

[1]摘自《人教版數學八年級下冊教師教學用書》.中《勾股定理》.一章的教材分析