“微分方程數值解”課程教學探討

姜英軍

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2016.07.155

摘 要：在“微分方程數值解”的教學過程中，選取一類典型的微分方程（如：熱傳導方程）作為重點進行精講：首先講授該方程的建模思想、數值求解方法，再理論分析數值解法的穩定性和收斂性，隨后詳細指導學生編程并上機實現數值解法，避免學生“雜而不精”；最后在課堂上會對多數微分方程進行泛講，指導學生充分利用課余時間探索方程的相關知識，培養學生的自學能力和創新能力。

關鍵詞：微分方程數值解 教學模式 教學實踐

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）03（a）-0155-03

On the Teaching Program of “Numerical Solution of Differential Equation” Course

Jiang Yingjun

（Department of Mathematics and Science Computing，ChangshaUniversity of Science and Technology，Changsha Hunan，410004，China）

Abstract：A typical differential equation such as the heat conduction equation is firstly detailed，in the teaching process，with presentations of its modeling idea， numerical schemes，stability and convergence analysis for the schemes，and numerical tests；other differential equations are briefly presented afterwards；students are finally instructed to fully utilize their spare time to investigate results of the related equations，which helps to cultivate their self-study and innovation abilities.

Key Words：Numerical solution of differential equations；Teaching mode；Teaching practice

《微分方程數值解》是該校信息與計算科學專業高年級學生學習的一門專業基礎課。信息與計算科學專業是教育部在1998年新設的一個專業，專業培養目的是培養具有一定的科學計算能力、信息處理知識和技術的復合型人才。信息與計算科學專業開設了數學分析和高等代數等重要數學基礎課，還開設了C語言、數值分析、數學實驗等科學計算相關課程。這些課程都為將學生培養成復合型人才打好了基礎。《微分方程數值解》是以上述課程為基礎開設的具有理工融合的專業課程，該課程有較強的實際應用背景，是訓練應用所學數學工具解決實際問題的重要課程，也是將學生培養成應用型人才的關鍵環節。為提高教學效率，許多一線教育工作者撰文對《微分方程數值解》課程的教學進行了探討[3-6]。

近年來在《微分方程數值解》課程的教學方法與教學手段改革方面有了很大進步，形成一定的教學思想和指導方針，但還未達到理想的教學效果，主要原因有：（1）課時偏少（48課時）；（2）課程理論性強，公式推導煩瑣；（3）缺乏實際應用背景介紹。為了在有限的課堂教學時間內達到理想的學習效果，提出將整個教學分成兩個環節：（1）對某一方程精講，選取一種典型微分方程，詳細講解該方程的建模思想，數值解法，理論分析，并指導學生在計算機上實現算法；（2）對多種方程泛講。對大部分微分方程僅講解對應的數值方法和理論分析，充分利用課余時間結合課堂時間，指導學生自主完成從建模到上機完整的學習過程。

1 某一方程的詳細講解

在《微分方程數值解》這門課程之前，學生已經學到了的很多有用的數學工具，但都只停留在理論層面上，還不能有效地使用。筆者認為，講好《微分方程數值解》這門課的一個關鍵任務是培養學生熟練使用數學工具的能力。此課程所涉及方程眾多，但基本的建模思想、數值解法和理論分析所使用數學工具是相同的。主張先對一種方程進行全面講述，使學生學會使用數學工具完成：（1）建模獲得微分方程；（2）設計方程的數值解法；（3）理論分析數值解法的穩定性和收斂性；（4）在計算機上實現算法。在學生真正掌握相關數學工具的使用方法后，再對其他的方程進行泛講，以學生為主體進一步應用數學工具解決問題。

拋物型微分方程的建模思想和數值求解均具有普遍的代表性，這里建議針對此類微分方程進行精講。下面詳細闡述實際操作過程，相關建模過程請參考文獻[1]，數值解法和理論分析請參考文獻[2]。

1.1 建模獲得方程

課程教學中溶入數學建模思想，不但可以培養學生建模的能力，還能有效提高學生的學習興趣。值得一提的是，信計專業的學生熟悉使用定積分元素法計算許多物理量，但并未使用過此方法通過物理建模獲得微分方程。只要適當引導，學生即能掌握通過建模獲得微分方程的方法，所需的前期預備知識為微積分和熱學物理。針對三維的熱傳導問題（也可選取氣體擴散問題）進行建模為例。將一空間體置于空間直角坐標系中，通過物理建模得到溫度分布所滿足的微分方程。設置物理參數：

2 多種方程的泛講

《微分方程數值解》課程背景廣泛，理論豐富，實驗復雜，但各章內容有很多相似之處。對一類方程進行精細講解，強化培養學生使用數學工具的能力和實踐能力，做到拋磚引玉。對其他的方程主要講解數值解法和理論分析，更多的任務如建模、實驗等任務，指導學生獨立完成。對于泛講的內容建議：（1）充分使用多媒體工具，如將課程內容制作成若干10 min左右的小視頻微型課程；（2）介紹一些參考書供學生課后閱讀；（3）安排學生分組完成任務，可以將學習成績好的和差的分在一起，相互促進；（4）考核成績以獨立完成任務的情況作為重要的評分標準。

3 結語

實現《微分方程數值解》課程教學的重要目標，要求授課教師既要熟悉工科建模思想，又要有扎實的數學知識，還要有熟悉的計算機編程能力，在今后工作中要的培訓教師達到相關的知識儲備。

參考文獻

[1] 谷超豪，李大潛，陳恕行.數學物理方程[M].北京：高等教育出版社出版，2012.

[2] 李榮華.偏微分方程數值解法[M].北京：高等教育出版社出版，2005.

[3] 張宏偉.注重培養研究能力的5微分方程數值解法課程教學研究與實踐[J].大學數學，2006，22（6）：4-6.

[4] 楊韌，楊光崇，謝海英.微分方程數值解的教學研究與實踐[J].高等數學研究，2010，13（1）：124-125.

[5] 楊韌，張志讓.《微分方程數值解》課程教學改革與實踐[J].大學數學，2011，27（4）：19-23.

[6] 廉海榮，趙琳琳，陳瑞閣，等.關于“微分方程數值解”課研究型教學模式的探討[J].大學數學，2012，28（5）：26-29.