求數列通項的幾種常用方法及其共性

周文

摘要：數列既是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎，在高考中占有重要地位且分值較大。在數列中，求通項公式是學習數列的難點。由于可滲透多種數學思想方法，因此求解過程中往往方法多、靈活度大、技巧性強。本文提供了幾種常用方法作參考。

關鍵詞：高中數學；數列通項；方法及共性；教學建議

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）04-0119

數列在高中數學和大學數學中都有著重要的地位。在課程設置方面，人教版高中數學必修5將數列這部分內容作為一個獨立的章節出現，而且在選修4系列中《數列與差分》也是一個單獨的專題，因此在整個高中數學課程中，數列占有重要的地位；在實際應用方面，現實生活中的儲蓄、人口增長、分期付款、物品的擺放等問題都與數列有著密切的聯系；而且數列問題在高考數學中也備受命題專家的重視，同時也是一線數學教師和高校數學教育專家研究的重要內容；在大學數學中，數列也是數學分析、組合數學、離散數學等多門課程的重要組成部分。

一、觀察法

即觀察數列的特征，橫向看各項之間的關系結構（如分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項的符號特征和絕對值特征。），縱向看各項與項數n的內在聯系，從而歸納出數列的通項公式。需要指出的是在歸納數列的通項公式的時候使用的是不完全歸納法，因此在解答題中一般不用，常用于解選擇題和填空題。

二、公式法

等差數列與等比數列是兩種常見且重要的數列，所謂公式法就是分析后項與前項的差或比是否符合等差數列或等比數列的定義，然后用等差、等比數列的通項公式表示它。用這種方法的時候關鍵在于緊扣等差、等比數列的定義。

4. 題型四：數列的求和問題

（1）公式法：確認數列是等差或等比數列，可以直接代入求和公式進行求和。

（2）倒序相加法：這是一種特殊的數列求和問題，用常規方法顯然不能解答，考慮到性質，嘗試用倒序相加法。主要適合滿足性質ak+a1=am+an（k+1=m+n）的數列的求和問題。

（3）錯位相減法：這種方法主要用于求數列{an·bn}的前項n和Sn，其中數列{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列。

（4）裂項法：這是分解與組合在數列求和中的具體應用。該方法的實質是將數列中的某些項進行分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。

（5）分組求和法：有一類數列既不是等差數列也不是等比數列，但若將這類數列適當拆開，可以得到幾個等差數列、等比數列或其他容易求和的數列，我們一般先分別求各個數列的和，然后把這些和相加就得到所要求的和。

（6）試值猜想法：通過對知S1，S2，S3，S4……的計算進行歸納分析，尋求規律，猜想出前n項和，然后用數學歸納法去證明。

六、數列教學建議

1. 根據教材特點應以啟發學生積極思維為核心

培養學生觀察問題、思考問題，并要教學生如何思維這對培養學生教學能力尤為重要。在提出的問題和定義的概念的引入方面要引起學生的注意并且讓學生體會到數學來源于生活，數學例子和實際生活息息相關，并且例子是學生知道的并做到易懂，在講等概念時，要先寫出幾個數列，啟發學生讓學生觀察他們有什么特點，有什么共性，然后用歸納性的語言總結這類數的特性，給出相應的定義（稱之為什么數列）。

2. 數列趣味性的認識

數列問題具有非常悠久的歷史，數列其實在很早時候就有應用。早在公元前3000年，古巴比倫就研究了數列：1，2，22……29并給出了它的和29+29-1。我國《周髀算經》中的“七衡圖”就有相關的問題，在例高斯發現等差數列的前n項和、兔子問題——斐波那契數列。這些都是我們值得一讀一看的歷史，這樣更會讓學生了解數列廣泛的應用以及在歷史上取得的燦爛的成就，激發學習的熱情。

3. 注意滲透一些重要的數學思想方法

一般的數列求解需耍用到裂項求和、分類討論等及其重要的數學思想，教材在這方面沒有過多的深入，只是以函數的角度切入數列，對于其他的數學思想沒有過度的體現。所以，在教學中處于關鍵地位，起關鍵作用的教師必須彌補這一缺憾，教師應在整體的、動態的觀點之下使數列的一些性質顯現得更加鮮明，更好地解決某些問題。

4. 準確解讀新課標對數列的教學要求

分析、研究新課標的對數列要求，把握課程標準中的教材的難重點，并在實際教學中認真貫徹課程標準中的規定，有的放矢地教學，使教學實效明顯提高。

5. 正確認清數列問題在高考中的地位與作用

數列在高中數學中與前面幾個章節知識相互瓜葛，相互交錯，要徹底弄清數列問題，弄懂前面幾章的內容是基礎，把分類討論、數形結合、函數思想等一些數學思想作為解題的主線，抓住數列這一章的重點章節，重點知識為解題的突破點。

總之，有關高考數學考查求數列通項公式的知識時很“靈活”、方法較多，因此需要學生具備靈活運用數學知識的能力，尤其要具備將其他數列能轉化成比較熟悉的等差或等比數列的能力。這樣才能“以不變應萬變”，取得較好的成績。

（作者單位：廣西欽州市靈山中學 535000）