揣摩例題用意，在例題中找“題根”

馬紅霞

課本中的例題與習(xí)題，都是通過(guò)篩選的題目的精華，在解題的思路和方法上具有典型性和代表性，在由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的過(guò)程中不僅具有示范性和啟發(fā)性，而且它們的解題方法和結(jié)論本身都具有廣泛遷移的可能。近幾年的中考題具有“題在書(shū)外，但根在書(shū)里”的特點(diǎn)，老師要善于在課本中尋找命題的生長(zhǎng)點(diǎn)——“題根”。因此，重視課本典型例習(xí)題的研究，用好、用活課本十分重要。下面以人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第十三章《軸對(duì)稱》中一道例題來(lái)看這樣一類(lèi)試題。

例題1：如圖1：△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.

求證：△ADE是等邊三角形（人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第80頁(yè)例4）。

這個(gè)例題簡(jiǎn)單，很多老師認(rèn)為這只是幫助學(xué)生熟知等邊三角形的判定方法，也會(huì)引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法來(lái)說(shuō)明，但是這個(gè)題還有沒(méi)有可以拓展的空間呢？如果當(dāng)點(diǎn)D在邊AB所在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），這個(gè)結(jié)論還成立嗎？老師可以在課堂上及時(shí)拓展。當(dāng)學(xué)生遇到下面的例2，可能會(huì)有“似曾相識(shí)”的感覺(jué)，如果學(xué)生能和例1聯(lián)系起來(lái)，也許就會(huì)“柳暗花明”。

例題2：（2014天河區(qū)期末）如圖（2）所示，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E為AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。

（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖（3）所示，則有AE__DB（填“>”“<”或“=”）。

（2）猜想AE與DB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

（3）若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC，AE=2，求CD的長(zhǎng)。

分析：此題的第（1）問(wèn)原型來(lái)自課本習(xí)題變式，學(xué)生可以借助等邊對(duì)等角、等邊三角形三線合一的性質(zhì)等易于解決。第（2）問(wèn)，學(xué)生大膽猜測(cè)易于得到相等的數(shù)量關(guān)系，但是如何證明，苦苦不得其解而束手無(wú)策。如果能領(lǐng)會(huì)例題1的靈魂，快速添加輔助線：如圖4，過(guò)點(diǎn)E做EF∥BC交AC于點(diǎn)F，顯而易見(jiàn)出現(xiàn)了例題1的模型，易證△AEF是等邊三角形，從而AE=EF，進(jìn)而把證明AE=DB的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了EF=BD的問(wèn)題，再通過(guò)證明△DBE≌△EFC即可解決。第（3）問(wèn)更是把點(diǎn)E、D看成動(dòng)點(diǎn)，使問(wèn)題難度升級(jí)，但是貌似困難的問(wèn)題我們更要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，只要點(diǎn)E是等邊三角形一邊或是邊所在直線的一點(diǎn)，都可以仿照例題1的方法和思路：過(guò)點(diǎn)E做平行線。如圖（5）點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)E做EF∥AC交BC延長(zhǎng)線于F，仍然可以得到△BEF是等邊三角形，再通過(guò)證明△DBE≌△CFE，再求得BD=AE=2，進(jìn)而求得CD=1；如圖（6），當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，方法依舊，不妨引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖探究，深刻體會(huì)這題的解法的妙處。

通過(guò)例1、例2可以發(fā)現(xiàn)兩題的相通之處，只要點(diǎn)E是等邊三角形一邊或是邊所在直線的一點(diǎn)，都可以通過(guò)做平行線構(gòu)造等邊三角形，從而實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。那么這時(shí)老師又可以引導(dǎo)學(xué)生：如果三角形是等腰三角形，點(diǎn)E是腰上一動(dòng)點(diǎn)，是否還可以用這種方法解決呢？又如下面的延伸訓(xùn)練：

延伸訓(xùn)練：如圖，△ABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF.

這道題雖然基本圖形變成了等腰三角形，但是點(diǎn)E在腰AB上，可以借助例1、例2的思路，過(guò)點(diǎn)E做AC的平行線（如圖8）構(gòu)造等腰△BEG，把BE=CF轉(zhuǎn)化為EG=CF，從而通過(guò)證明△EGD≌△FCD解決DE=DF的問(wèn)題。又或者借助圖9過(guò)點(diǎn)F做AB的平行線，構(gòu)造等腰△FCM即可同理解決DE=DF的問(wèn)題。

由此看到，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若教師有目的、有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生研究課本中的一些典型例題或習(xí)題，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行合理地變形、轉(zhuǎn)化、拓延、綜合，深入挖掘其中潛在的數(shù)學(xué)思想方法，揭示其豐富的內(nèi)涵，通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想和拓展，改變題目中的條件和結(jié)論，把原題目進(jìn)行變換形式，則可以設(shè)計(jì)出很多相關(guān)題目讓學(xué)生去探究，也可以讓學(xué)生參與設(shè)計(jì)題目，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力、開(kāi)拓思路、活躍思維等都是有益的，也與素質(zhì)教育要求的“培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力”的本質(zhì)吻合。

數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是明線，直接用文字形式寫(xiě)在教材里，反映著知識(shí)間的縱向聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想方法則是暗線，反映著知識(shí)間的橫向聯(lián)系，常常隱藏在基礎(chǔ)知識(shí)的背后。因此，需要教師的有效發(fā)掘指點(diǎn)，化隱為顯，學(xué)生才能領(lǐng)悟、掌握。除此而外，面對(duì)一道道數(shù)學(xué)題，我們可以對(duì)它進(jìn)行簡(jiǎn)單化、特殊化、一般化變形，以尋找解題思路，進(jìn)行知識(shí)和技能的遷移與拓展。在例題教學(xué)后，教師及時(shí)總結(jié)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，可起到以一代十的效果，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和高度有重要意義。

教材是《新課標(biāo)》的載體，是課程目標(biāo)和課程內(nèi)容的具體化，是教與學(xué)的主要依據(jù)。中考數(shù)學(xué)試題具有“源于教材，但高于教材；題在書(shū)外，但根在書(shū)里”的特點(diǎn)，大多來(lái)源于課本或從課本的基本要求出發(fā)加以拓寬，延伸和改造，所以在日常的教學(xué)中，教師不要盲目的甩開(kāi)教材，濫用其他資料，而應(yīng)高度重視課本上的一些典型例題和它們的解法，在此基礎(chǔ)上，還要充分引申、挖掘其蘊(yùn)涵的深層潛力，在例題中找“題根”，做到“一題多解”、“一題多變”、“多題同法”，融會(huì)貫通，這樣學(xué)生才會(huì)得心應(yīng)手，才能有效地提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

（責(zé)任編輯 李 翔）