數(shù)學(xué)思想促進(jìn)新知建構(gòu)的探究

林慧瓊

摘 要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”都離不開數(shù)學(xué)思想。在教育教學(xué)實(shí)踐中教師加強(qiáng)滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，是實(shí)現(xiàn)教育目標(biāo)的一個(gè)重要措施，也是新課標(biāo)所提倡的理念。培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想，不僅能促進(jìn)新知的建構(gòu)，而且能提高解決問題的能力。在教育教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)該摒棄單向傳授知識(shí)的舊觀念，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；新知建構(gòu)；數(shù)形結(jié)合；極限思想

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、對(duì)比、分類、遷移、極限、統(tǒng)計(jì)、集合、歸納以及猜想驗(yàn)證等。教師如何根據(jù)教材和學(xué)生差異有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)新知建構(gòu)，創(chuàng)建高效課堂是我們教師應(yīng)該思考和探究的問題。在此，我根據(jù)自身實(shí)踐，淺談幾種數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合和極限思想在小學(xué)教育教學(xué)中的應(yīng)用。

一、靈活轉(zhuǎn)化，化“險(xiǎn)”為夷

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何滲透轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜、困難的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、容易的問題，找到突破口，攻克難題？

我在區(qū)公開課“年月日”的教學(xué)中，開課班級(jí)的學(xué)生還未學(xué)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的除法”，判斷平年和閏年時(shí)，需要用到除法知識(shí)，所以在探究閏年與4和400的關(guān)系時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生把“用除法解決”轉(zhuǎn)化為“用倍數(shù)關(guān)系解決”，放手讓學(xué)生自主探究，巧妙地化難為易。探究閏年的年份與4的關(guān)系，我巧設(shè)填空：

2004=（ ）×501，2008=（ ）×502，2012=（ ）×503

學(xué)生自主探究，發(fā)現(xiàn)括號(hào)內(nèi)都填4，總結(jié)規(guī)律：閏年的年份都是4的倍數(shù)。雖然年份是4的倍數(shù)的一般是閏年，但年份是整百數(shù)的必須是400的倍數(shù)才是閏年。當(dāng)我質(zhì)疑1900年是平年還是閏年時(shí)，學(xué)生就能觸類旁通，通過遷移和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把1900÷400的除法計(jì)算轉(zhuǎn)化為1900=（ ）×400的乘法口算。我質(zhì)疑：能找到一個(gè)整數(shù)和400相乘等于1900年的年份嗎？學(xué)生探究得出：1900不是400的倍數(shù)，所以不是閏年，而是平年。這節(jié)課中，我巧妙引導(dǎo)學(xué)生把沒有學(xué)過的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)，化難為易，促進(jìn)了新知的建構(gòu)。

學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過程，新課標(biāo)提倡學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，效果更好。學(xué)生探究三角形面積公式是建立在已有平行四邊形面積公式推導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步感悟“轉(zhuǎn)化”思想的。因此在五年級(jí)“三角形的面積”教學(xué)中，我放手讓學(xué)生通過剪拼的活動(dòng)，自主推導(dǎo)公式，體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化”思想，發(fā)展空間思維。學(xué)生在動(dòng)手操作中發(fā)現(xiàn)方法多樣。方法一，把兩個(gè)完全一樣的三角形拼在一起，轉(zhuǎn)化成一個(gè)平行四邊形，三角形的面積=平行四邊形的面積÷2=底×高÷2；方法二，把兩個(gè)完全一樣的三角形拼在一起，轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形，三角形的面積=長(zhǎng)方形的面積÷2=長(zhǎng)×寬÷2=底×高÷2；方法三，把一個(gè)三角形沿兩邊中點(diǎn)的連線剪開，頂部的小三角形往右下角平移并旋轉(zhuǎn)，拼成一個(gè)平行四邊形，根據(jù)原有公式進(jìn)行推導(dǎo)，三角形的面積=平行四邊形的面積=底×（高÷2）=底×高÷2。本堂課，學(xué)生通過折一折、剪一剪、拼一拼，把三角形轉(zhuǎn)化成其他已經(jīng)學(xué)過的圖形，借助它們的面積公式推導(dǎo)出三角形面積公式，理解深刻，掌握牢固。

在六年級(jí)“扇形統(tǒng)計(jì)圖”一課中，我巧妙應(yīng)用“轉(zhuǎn)化”的思想進(jìn)行教育教學(xué)。課堂開始，一小組長(zhǎng)突然匯報(bào)某同學(xué)沒有完成作業(yè)。面對(duì)尷尬場(chǎng)景，我若大發(fā)雷霆，沒完成作業(yè)的學(xué)生肯定惶恐不安，也會(huì)影響大家。若放任不管，恐怕他會(huì)一錯(cuò)再錯(cuò)。為了不影響學(xué)生學(xué)習(xí)又能恰到好處地教育，我做出了轉(zhuǎn)化，“同學(xué)們先統(tǒng)計(jì)下有完成作業(yè)和沒完成作業(yè)的人數(shù)，并選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖來表示。”學(xué)生匯報(bào)用條形統(tǒng)計(jì)圖來表示，我質(zhì)疑：“為什么不用折線統(tǒng)計(jì)圖？”學(xué)生匯報(bào)，“有完成作業(yè)”和“沒完成作業(yè)”的人數(shù)是兩種固定不變的數(shù)據(jù)，而折線統(tǒng)計(jì)圖是用來表示數(shù)量的增減變化情況。我引導(dǎo)：“還能用扇形統(tǒng)計(jì)圖來表示這兩種數(shù)據(jù)所占的百分比?！苯又|(zhì)疑：“從這些統(tǒng)計(jì)圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？你想提哪些寶貴建議？”雖然我沒有用任何言語批評(píng)，但已經(jīng)達(dá)到了“無聲勝有聲”的效果?？梢娊逃虒W(xué)中教師靈活應(yīng)用“轉(zhuǎn)化思想”，能促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)新知，化解課堂干擾又使師生關(guān)系融洽。

二、數(shù)形結(jié)合，妙趣橫生

數(shù)形結(jié)合思想是充分利用“形”把一定的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來，把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來，解決一些比較抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

我在設(shè)計(jì)公開課《認(rèn)識(shí)幾分之一》時(shí)，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法引導(dǎo)和啟迪學(xué)生，把原本抽象的分?jǐn)?shù)用不同形狀的卡片來呈現(xiàn)，分別有圓形、三角形、長(zhǎng)方形、正方形，讓學(xué)生折一折、畫一畫、涂一涂找出多種圖形中的幾分之一，深刻理解幾分之一的含義，促進(jìn)新知的建構(gòu)。在擴(kuò)展提升環(huán)節(jié)，我巧妙設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題。例：動(dòng)物王國(guó)新建了一座城堡，聰明的小猴把大廳的天花板設(shè)計(jì)成七巧板的形狀，大象、獅子、山羊、狐貍負(fù)責(zé)給天花板涂漆，哪只動(dòng)物涂得最多？哪只動(dòng)物涂得最少？有涂得一樣多的嗎？

這道題如果沒有通過數(shù)形結(jié)合，很難解決，特別是狐貍、山羊兩只動(dòng)物涂的大小很難判斷，因?yàn)檫@個(gè)階段的孩子還沒有學(xué)習(xí)面積的計(jì)算，我提醒大家可以應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合思想”找到各只動(dòng)物所涂的大小分別占天花板的幾分之一，再判斷分?jǐn)?shù)大小。然后讓學(xué)生動(dòng)手操作進(jìn)行驗(yàn)證，二人小組合作，通過“移”和“拼”七巧板，找到關(guān)系：大象涂的占天花板的，獅子涂的占天花板的，山羊和狐貍涂的分別占天花板的。根據(jù)，得出大象涂得最多，獅子涂得最少，山羊和狐貍涂得一樣多。

在此，數(shù)離不開形，形離不開數(shù)，學(xué)生借助圖形能使原本抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系更直觀化、形象化，枯燥的數(shù)與代數(shù)問題變得生動(dòng)有趣，促進(jìn)新知的建構(gòu)。

三、“極”中生智，量變到質(zhì)變

極限思想的實(shí)質(zhì)是通過量變的無限過程達(dá)到質(zhì)變的。教育教學(xué)中，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生“極”中生智，培養(yǎng)用極限思想解決問題的能力。

五年級(jí)“通分”新授課的擴(kuò)展環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了這道題：，括號(hào)內(nèi)能填幾個(gè)分?jǐn)?shù)？要解決這道題，學(xué)生不僅要掌握通分的知識(shí)，還必須充分理解并應(yīng)用“極限思想”。學(xué)生通分，得出，找不到分?jǐn)?shù)。我引導(dǎo)繼續(xù)擴(kuò)大分母，再通分。學(xué)生匯報(bào)：，無須計(jì)算，就能判斷出括號(hào)內(nèi)可填多個(gè)分?jǐn)?shù)。我質(zhì)疑：分母擴(kuò)大100倍呢？學(xué)生繼續(xù)通分，，分母一樣，只需考慮分子，“201500<201501<201502…<201599<201600”，介于201500與201600中間共99個(gè)數(shù)，因此可以填99個(gè)分?jǐn)?shù)。我再次質(zhì)疑：分母擴(kuò)大1000倍呢？學(xué)生直接報(bào)出999個(gè)分?jǐn)?shù)，并自主總結(jié)：分母能無限擴(kuò)大，分子也能對(duì)應(yīng)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，應(yīng)用極限思想得出答案是“能填無數(shù)個(gè)”。在這里，極限思想發(fā)揮了強(qiáng)大作用，令問題的解決達(dá)到事半功倍的效果。

六年級(jí)“圓”這單元，涉及“極限思想”比較多?！罢J(rèn)識(shí)圓”新授課中，擴(kuò)展環(huán)節(jié)，我引入“圓出于方”，讓學(xué)生觀察有限切割，加快速度，不斷切割下去，想象極限狀態(tài)，得出：正方形通過無數(shù)次切割可以得到一個(gè)圓。

我要求學(xué)生算出正方形中最大的圓的直徑和半徑，學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律“正方形的邊長(zhǎng)=圓的直徑”算出直徑和半徑，并萌發(fā)了無限逼近的思想。我在“圓的面積”教學(xué)中，進(jìn)一步滲透了極限思想。我讓學(xué)生折一折、剪一剪，把圓剪成若干小扇形。首先8等分，拼成一個(gè)近似的平行四邊形；再16等分，最后32等分，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形。引導(dǎo)學(xué)生想象極限狀態(tài)，如果不停地剪下去，會(huì)產(chǎn)生無數(shù)個(gè)小扇形，用無數(shù)個(gè)小扇形就可以拼出一個(gè)長(zhǎng)方形。放手讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”就是圓的“周長(zhǎng)一半”，長(zhǎng)方形的“寬”就是圓的“半徑”，最后根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積公式，加深了對(duì)“極限思想”的理解。課堂尾聲，我再次出示最后一張圖，讓學(xué)生計(jì)算圖中圓的面積。學(xué)生對(duì)“極限思想”理解深刻，很快推導(dǎo)出圖中“圓的半徑=正方形邊長(zhǎng)÷2”，即r=8÷2=4（厘米），最后運(yùn)用公式S=πr2計(jì)算出圓的面積。低年段學(xué)生的極限思想初步形成，中高年段逐步強(qiáng)化。教師應(yīng)從低年段逐步培養(yǎng)學(xué)生的極限思想，到中高年段加強(qiáng)應(yīng)用，從而對(duì)新知建構(gòu)起到促進(jìn)作用。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。在小學(xué)教育教學(xué)中，作為學(xué)生的引導(dǎo)者，教師不能只是單純傳授知識(shí)和方法，應(yīng)深入研究教材，挖掘其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)實(shí)際教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和學(xué)生的差異情況選擇合適的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行有機(jī)滲透，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)新知的建構(gòu)，提升教育教學(xué)的效率和質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

高仕明.淺談常見的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用[J].教學(xué)研討，2014（10）.