談兒童數(shù)學(xué)教育視角下的“推理能力”培養(yǎng)

張秋爽

【摘 要】推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。教師在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的過(guò)程中，首先要明確各個(gè)學(xué)段推理能力的目標(biāo)，通過(guò)不完全歸納推理，讓概念學(xué)習(xí)獲得真理解；通過(guò)類比推理，讓猜想推斷得以落實(shí)。所以教師要挖掘教學(xué)內(nèi)容中承載的推理能力的素材，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力，給學(xué)生提供交流和表達(dá)的時(shí)空。

【關(guān)鍵詞】推理能力 合情推理 歸納推理 類比推理 演繹推理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，介紹了10個(gè)核心概念，也就是小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中就有推理能力；而數(shù)學(xué)的基本思想包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)模型。由此可見，推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)習(xí)推理。具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。推理一般包括合情推理和演繹推理，推理能力的發(fā)展應(yīng)該貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。

一、基于兒童的推理能力目標(biāo)分析

推理能力在課標(biāo)中是這樣表述的：推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。

推理能力培養(yǎng)的學(xué)段目標(biāo)是有層次的，從提出簡(jiǎn)單的猜想到發(fā)展合情推理能力再到合情推理能力和演繹推理能力并重。明確了目標(biāo)，也給教學(xué)實(shí)踐指明了方向。實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的路徑是無(wú)窮的，關(guān)鍵在于教師在教育教學(xué)過(guò)程中要有意識(shí)、有方法、循序漸進(jìn)、由淺入深地逐步落實(shí)。

二、基于兒童的推理能力發(fā)展策略

基于對(duì)兒童數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐研究，圍繞推理的不同類別，站在兒童的立場(chǎng)，尊重學(xué)生的個(gè)性差異，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容提出以下三方面培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略。

（一）不完全歸納推理，讓概念學(xué)習(xí)獲得真理解

概念的學(xué)習(xí)需要多個(gè)例證，正例、反例、變式，讓學(xué)生經(jīng)歷不完全歸納推理的過(guò)程，獲得對(duì)概念的真正理解，也就是概念的建立需要舉三反一。下面就以“倍的認(rèn)識(shí)”這個(gè)概念為例，談?wù)勅绾芜M(jìn)行讓學(xué)生經(jīng)歷不完全歸納推理的過(guò)程。

師：從圖中你看出了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：公雞有2只，母雞有4只，小雞有8只。

師：公雞、小雞和母雞從數(shù)量上比較，它們之間有什么關(guān)系？

生：小雞比公雞多6只，母雞比小雞少4只……

出示圖：一個(gè)一個(gè)地比（同樣多，多的部分）

〇 〇

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☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆

師：這是一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行比較，除了這樣比之外，你還想怎么比？

生：能兩個(gè)兩個(gè)地比嗎？能三個(gè)三個(gè)地比嗎？

師：好問(wèn)題！你們?cè)囋嚢伞蓚€(gè)兩個(gè)地比會(huì)是什么樣呢？三個(gè)三個(gè)地比該怎么表示呢？

生：母雞的只數(shù)是公雞的2倍。

師：誰(shuí)能夠想一個(gè)辦法，讓別人一眼就能看出母雞的只數(shù)是公雞只數(shù)的2倍？（出示學(xué)具擺一擺）

學(xué)生展示匯報(bào)：公雞有2只，母雞有2個(gè)2只，小雞有4個(gè)2只。

師：剛才我們用圈一圈、擺一擺的方法找到了小雞只數(shù)和公雞只數(shù)的關(guān)系。你能用同樣的方法找一找母雞和小雞只數(shù)之間的關(guān)系嗎？找到之后和同桌說(shuō)一說(shuō)。

學(xué)生匯報(bào)：

生：母雞有4只，小雞有2個(gè)4只，小雞的只數(shù)是母雞的2倍。

生：公雞有2只，小雞有4個(gè)2只，小雞的只數(shù)是公雞的4倍。

出示：還可以一份一份地比（倍數(shù)），幾個(gè)幾

師：從你的介紹，我們就進(jìn)入了對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)。（板書課題）要想小雞的只數(shù)是公雞的5倍，怎么辦？

生：再填上2只小雞，這樣小雞有5個(gè)2只，小雞的只數(shù)就是公雞的5倍。

師：要想使小雞的只數(shù)是公雞的6倍呢、7倍呢？

生：公雞有2只，小雞有6個(gè)2只，小雞的只數(shù)就是公雞的6倍。

生：公雞有一份，是2只，小雞有這樣的6份，也就是6個(gè)2只，我們就說(shuō)小雞的只數(shù)就是公雞的6倍。

師：誰(shuí)能用一句話說(shuō)一說(shuō)，小雞和公雞之間的倍數(shù)關(guān)系？

生：公雞有一份，小雞有這樣的幾份，我們就說(shuō)小雞是公雞的幾倍。

師：真會(huì)總結(jié)！我們回顧一下，剛才我們拿公雞和母雞比、公雞和小雞比、母雞和小雞比，學(xué)習(xí)了倍的知識(shí)。為什么同樣是8只小雞，一會(huì)兒是公雞的4倍，一會(huì)兒又是母雞的2倍呢？

生：因?yàn)樗鼈儽鹊臉?biāo)準(zhǔn)不一樣，8只和2只比，8只和4只比，一份的數(shù)量不一樣，得出的幾份也就不一樣了。

這個(gè)小片段，結(jié)合學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生感受到兩個(gè)量比較時(shí)有倍的關(guān)系，將倍的認(rèn)識(shí)納入已有知識(shí)結(jié)構(gòu)中。通過(guò)幾個(gè)例子讓學(xué)生對(duì)“倍“這個(gè)概念有初步的認(rèn)知，正是這幾個(gè)例子讓兒童經(jīng)歷不完全歸納推理的過(guò)程，隨著一份一份小雞的增加，小雞和公雞之間的關(guān)系躍然紙上，學(xué)生漸漸理解：事物之間數(shù)量的比較還可以一份一份地比，這就是倍。

（二）類比推理，讓猜想推斷得以落實(shí)

在我們的思維、日常談話、一般結(jié)論以及表演藝術(shù)方法和最高科學(xué)成就中，無(wú)不充滿了類比。類比推理是由兩個(gè)或兩類思考對(duì)象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一屬性也相同或相似的一種推理。它是從特殊到特殊的推理。類比推理也是一種或然性的推理。運(yùn)用類比法的關(guān)鍵：尋找一個(gè)合適的類比對(duì)象，設(shè)法把它說(shuō)清楚。可以從哪些方面進(jìn)行類比呢？

1.結(jié)構(gòu)相似的類比

三年級(jí)學(xué)習(xí)了“長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)和面積”，讓學(xué)生探索規(guī)律：周長(zhǎng)一定時(shí)，圍成的長(zhǎng)方形、正方形的面積，哪個(gè)大？通過(guò)操作、設(shè)數(shù)枚舉，得出了正方形面積比長(zhǎng)方形面積大，同樣圍的都是長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬越接近的長(zhǎng)方形面積越大的規(guī)律。規(guī)律的獲得，應(yīng)用了不完全歸納推理得出結(jié)論。當(dāng)六年級(jí)學(xué)了圓，周長(zhǎng)一定時(shí)，圍成的長(zhǎng)方形、正方形、圓哪個(gè)圖形的面積大呢？圍成的圓的面積是最大的，這也是由淺入深，通過(guò)推理讓學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)形成網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程。

受前面規(guī)律的啟發(fā)，可以產(chǎn)生如下聯(lián)想：既然周長(zhǎng)一定，圍成的四邊形中，圍成的正方形面積比長(zhǎng)方形面積大，那么周長(zhǎng)一定時(shí)，圍成的三角形，什么三角形的面積最大？

學(xué)生紛紛進(jìn)行了猜測(cè)。

生：圍成的鈍角三角形面積最大。

生：圍成的銳角三角形面積最大。

生：圍成的直角三角形面積最大。

生：圍成的等腰三角形面積最大。

生：圍成的等邊三角形面積最大。

通過(guò)結(jié)構(gòu)性類比，在這么多猜測(cè)中，我們能推斷：在定周長(zhǎng)的所有三角形中，等邊三角形的面積最大，利用設(shè)數(shù)、拼擺等方式進(jìn)行驗(yàn)證。找規(guī)律的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)不完全歸納、猜想、驗(yàn)證、聯(lián)想等合情推理方式，實(shí)現(xiàn)從特殊向一般轉(zhuǎn)化的過(guò)程。

2.高維和低維的類比

在平面圖形學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形，知道長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。

那么，在立體圖形中，長(zhǎng)方體的體積是否也具有和長(zhǎng)方形類似的形式？這就是從二維空間類比到三維空間。

古典故事中，魯班發(fā)明了鋸，采用的就是類比推理的思維方式。除了上面介紹的兩種類比方式外，還有復(fù)雜問(wèn)題及其簡(jiǎn)化后的類比，數(shù)式與圖形的類比，有限和無(wú)限的類比，方法類比和形式類比等。

類比推理具有或然性，所以還需要小心求證，類比只是一種猜想，思考的范圍和方向，更主要的是還需要驗(yàn)證，從而對(duì)新結(jié)構(gòu)、新思考的正確性做到心中有數(shù)。

運(yùn)用類比法，從新知識(shí)聯(lián)想到舊知識(shí)，展示知識(shí)的獲取過(guò)程，起了新舊知識(shí)的紐帶作用，可以使知識(shí)間縱向溝通；運(yùn)用類比法，展開豐富的想象，產(chǎn)生遷移，可以加強(qiáng)知識(shí)間的橫向聯(lián)系。運(yùn)用類比法，鮮明地形成了清晰、系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，閃耀著創(chuàng)造的火花。

（三）演繹推理，讓概念在應(yīng)用中得以深化

演繹推理，又稱論證推理，它是思維過(guò)程中從一般到特殊，前提與結(jié)論有蘊(yùn)含關(guān)系，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算，得到某個(gè)具體結(jié)論的推理。它的基本形式是三段論。數(shù)學(xué)證明主要是運(yùn)用演繹推理。

在教學(xué)正方形面積計(jì)算公式時(shí)，我們通過(guò)演繹推理得到：因?yàn)殚L(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，正方形是長(zhǎng)和寬相等的長(zhǎng)方形，所以正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)；判斷35能否被2整除時(shí)，利用的就是演繹推理，推斷結(jié)論是否正確。

以往數(shù)學(xué)教學(xué)注重發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，對(duì)發(fā)展學(xué)生的合情推理能力重視不夠。數(shù)學(xué)不僅需要演繹推理，同樣需要合情推理。教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比獲得猜想，然后通過(guò)演繹推理證明猜想是否正確。

三、基于兒童推理能力培養(yǎng)的教學(xué)建議

（一）教師要挖掘教學(xué)內(nèi)容中承載的推理能力的素材，做到有意識(shí)

在每一節(jié)課的教與學(xué)的過(guò)程中，教師的引導(dǎo)作用尤為重要；教師不僅要教好具有顯性推理的教學(xué)內(nèi)容，更重要的是要有意識(shí)去挖掘教學(xué)內(nèi)容背后隱含的推理素材，從中提取有價(jià)值的信息，為課堂所用。所以教師要明確每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容背后承載的能培養(yǎng)學(xué)生推理能力的素材，做到心中有數(shù)，明確教什么，清楚每一節(jié)課到底讓兒童獲得什么。只有這樣，教師才能有意識(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)和滲透。有數(shù)學(xué)思考的課堂，才厚重！

（二）引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力，做到有經(jīng)歷

在教學(xué)中，不論是概念理解，還是法則的歸納，不論是探索規(guī)律，還是問(wèn)題解決，其實(shí)都離不開猜想、驗(yàn)證、比較、歸納、概括等思維方式，這也是合情推理所依賴的載體。

在“數(shù)學(xué)百花園”這個(gè)單元，有“比較”這一教學(xué)內(nèi)容，如下圖：

師：仔細(xì)觀察圖，看看你了解到了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：左圖里的3只小狗和3只小貓重30千克，右圖里的3只小狗和1只小貓重26千克，求一只小狗和一只小貓各重多少千克？

師：你準(zhǔn)確地讀出了數(shù)學(xué)信息和問(wèn)題，觀察得很仔細(xì)！

生：左圖比右圖多了2只小貓，還多了4千克。

師：通過(guò)觀察，你還把兩幅圖進(jìn)行比較，讀出了隱含的信息。

生：如果從左圖中拿走1只小貓，放在右圖，兩幅圖就一樣多了。

師：誰(shuí)聽明白了他的說(shuō)法？

生：左圖里的3只小狗和3只小貓重30千克，右圖里的3只小狗和1只小貓重26千克，從左圖移動(dòng)1只小貓放到右圖，兩幅圖同樣多，都是3只小狗和2只小貓。

生：我還知道了1只小狗和1只小貓共重10千克。

師：你怎么知道的？

生：3只小狗和3只小貓合起來(lái)是30千克，我把1只小狗和1只小貓分為一組，這樣一組就是把30平均分成3份，每一份是10千克。

師：你真會(huì)推理，誰(shuí)聽懂了他的說(shuō)法？

生：因?yàn)?只小狗和3只小貓共重30千克，所以1只小狗和1只小貓就是10千克。

師：你真會(huì)表達(dá)，這樣說(shuō)，我們?nèi)靼琢恕?/p>

生：1只小狗和1只小貓共重10千克，可以設(shè)數(shù)來(lái)解決問(wèn)題。假設(shè)小狗重9千克，小貓重1千克；還可以設(shè)小狗重8千克，小貓重2千克……

以上片段，讓我們清晰地感覺(jué)到：觀察是推理的基礎(chǔ)，直覺(jué)的洞察是創(chuàng)新的來(lái)源，細(xì)致觀察才能有與眾不同的發(fā)現(xiàn)，五名學(xué)生讀題的視角，從讀直接信息到讀出隱含信息，從一一對(duì)應(yīng)到分組對(duì)應(yīng)，從移多補(bǔ)少到和不變?cè)O(shè)數(shù)推理中的函數(shù)思想，都是推理不同形式的再現(xiàn)。五名學(xué)生讀題的視角，蘊(yùn)含著四種不同的解決問(wèn)題的策略，不同策略的形成來(lái)源于數(shù)學(xué)的直覺(jué)、類比、觀察、比較、歸納、猜想、聯(lián)想等。

（三）給學(xué)生提供交流和表達(dá)的時(shí)空，做到有根據(jù)

鼓勵(lì)兒童清楚地表達(dá)推理過(guò)程，在有條理的表達(dá)中，體現(xiàn)思維的有序性。當(dāng)然也離不開教師適時(shí)適度地訓(xùn)練他們進(jìn)行有條有理的表達(dá)。

一年級(jí)學(xué)習(xí)了“認(rèn)識(shí)鐘表”，老師給學(xué)生提供4塊表盤，內(nèi)容是：明明7點(diǎn)在家里吃早餐；8點(diǎn)在學(xué)校上課；10點(diǎn)做廣播體操，中午12點(diǎn)放學(xué)。讓學(xué)生通過(guò)這4塊表盤上時(shí)針和分針的位置關(guān)系，得出分針指向12，時(shí)針指向幾就是幾時(shí)。這是學(xué)生經(jīng)歷了不完全歸納推理得出的結(jié)論。

五年級(jí)判斷125能否被3整除。說(shuō)說(shuō)你是怎么想的？因?yàn)槟鼙?整除的數(shù)的特征是這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和為3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被3整除；而125各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和是8，不是3的倍數(shù)；所以125不是3的倍數(shù)。這就是在利用推理的三段論來(lái)表達(dá)，也是利用演繹推理的過(guò)程。

總之，教學(xué)中要結(jié)合具體的內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，讓學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程，使其思維可視化，讓學(xué)生在有條有理、有根有據(jù)的表達(dá)中，把自己的思考過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式想事、做事是數(shù)學(xué)課的最高追求。

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（北京市順義區(qū)教育研究考試中心 101300）