Clifford分析在偏微分方程中的應用

仲新娟

摘要：Clifford是基于高維空間中代數理論與幾何結構所創設的一種幾何代數，是一種能夠結合但不能夠交換的代數結構，是外代數、四元數以及復數的推廣。文章首先闡述了非線性偏微分方程（PDE）解的存在性定理，并通過實例說明在偏微分方程中構造Clifford分析的方法，進一步闡述了多Clifford分析的相關理論及其應用方法，總結了Clifford分析在解決高維空間領域非線性偏微分方程（PDE）問題的一般方法。

關鍵詞：Clifford分析；偏微分方程；應用

Clifford又可稱為幾何代數，目前在幾何與物理領域中都有應用。在當前數學研究的主流課題中，非交換數學一直是重點，而Clifford分析可以說是非交換領域中單復變全純函數理論的推廣，其在量子物理、微分幾何、代數幾何以及偏微分方程中皆有應用。但是在偏微分方程（PDE）之中，Clifford的應用多集中于具體方程解的表達式和存在性，而在解決高維空間領域高階非線性偏微分方程問題方面卻少有建樹。本文將運用Clifford分析法將偏微分方程解之局部存在性理論（下面簡稱為N-W定理）向高維推廣，在高維空間中建立非線性偏微分方程的整體可解性和局部可解性。

一、 PDE解的存在性定理

1957年，學者Lewy[M]提出了即使是一般的線性PDE，其可能沒有局部解。這一理論的提出，使得PDE解本身的局部存在性成為偏微分方程領域中最為基本的研究問題，早期著名的研究者包括Nirenberg-Treves、Lemer、 Decker、Beals-Fefferman等。直至Nijenhuis-Woolf提出并證實了殆復流形上J-H曲線局部存在性的理論，從本質上研究了在復平面中一階非線性PDE的局部可解性問題，但是這一定理由一階線性PDE向高階推廣，經歷了漫長的時間，直至2011年才算完成。

目前有學者已經證實了PDE的可解性，但這一結果并未全部推廣至微分方程組，而且對于非線性偏微分方程組，這一局部可解性問題就顯得更為復雜。本文將以下列方程組A為例，探討其可解性。

這里的D是Clifford代數R0，n之中的Dirac算子，且D為其共軛算子，u為Rn+1域中（有定義）Clifford值函數，a為給定的（光滑）Clifford值函數，μ+v=m。

首先分析Teodorescu（簡稱為T）算子的有界性問題，T算子為Dirac算子（D）的右逆算子，作為處理Cauchy-Riemann（C-R）這類方程的基礎。本文主要探討了以下T算子的有界性問題，其結果在證實非線性PDE方程解本身的存在性定理之中起著決定作用。

T算子是將D算子的基本解作為核函數的一種積分算子，也常常稱之為D算子體積位勢。下面我們將利用T算子一階微分表達式來作如下證明：在H0der空間，T算子為D算子的右逆算子。從共軛算子D為例，考慮其右逆算子T，

三、小結

本文立足于建立起高維空間中不同階C-R型非線性PDE的整體可解性和局部可解性。雖然已有學者已經研究得出了多四元數以及多Clifford分析中低維C-R方程組應滿足的相容性條件，也有學者通過代數幾何方法，深入探討了多四元數分析，并且給出C-F復形的主要構造。但是上述方法仍然存在一定局限性，因為該方法憑借的相容性條件要利用C-F復形之中第三個算子，但是第三個算子只在低維情況下才容易算出，而一般情形下很難被找出，因此并不能得到非齊次C-F方程解的表達式。本文探索的方向是應用代數幾何方法，將多復變方法帶到多Clifford分析以及多四元數理論之中。以上研究和結果證明了該種方法既是基礎，也是直接的。首先通過Pertici引入和給出多四元數條件下非齊次C-R方程相容性條件，實際上就是積分條件，與通過一般代數幾何方法獲得的相容性條件是有區別的。從整體上看，該方法能夠方便直接得到非齊次C-R方程存在緊支集解的有關相容條件，并且無須借助第三個算子。T算子為Dirac算子（D）的右逆算子，通過分析Teodorescu（簡稱為T）算子的有界性問題，能夠進一步處理Cauchy-Riemann（C-R）這類方程。本次研究利用Clifford分析將Nijenhuis-Woolf定理由復平面向高維推廣，希望能夠為廣大研究者提供一些參考和方法借鑒。

參考文獻：

[1]張彬林.變指數Clifford值函數空間及其應用[D].哈爾濱工業大學，2013.

[2]王海燕. Clifford分析在偏微分方程中的應用[D].中國科學技術大學，2014.

[3]李婧.復Clifford分析中Isotonic函數的性質及其邊值問題[D].河北師范大學，2010.

[4]張坤.Clifford分析中全純Cliffordian函數的性質及其邊值問題[D].河北師范大學，2010.