排列組合的一題多解

劉小朋+陳雪宏

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2016）04-0218-01

問題：有數字1，2，3，4可組成多少個恰有兩個重復數字的不同的三位數？

這道排列組合的題一般有兩種不同的思路：一是正向思維，二是逆向思維，所以也就決定了常規的解法只有兩種。

解法一：把符合條件的三位數分成三類：個位數與十位數重復；個位數與百位數重復；十位數與百位數重復。每一步均要兩步，第一步確定重復的數字，有4種不同的方法，第二歩確定另一個數字，有三種不同的方法，所以共有43+43+43=36（個）

解法二：由1、2、3、4組成的不同的三位數可分為三類：沒有重復數字的三位數；恰有兩個重復數字的三位數；三個數字都重復的三位數。第一類沒有重復的數字有43=24，第二類三個數字都重復的三位數有4個，所以恰有兩個數字重復的三位數共有64-24-4=36

解法三：先從4個數中選出兩個數字共有種，再從選中的兩個數中確定一個重復的數字有種，然后，這三個數字全排種，如被選的重復數字是a=b，不重復的是c，則它排成的三位數是：abc，acb，bac，bca，cba，cab.我們可以看到得到的這三位數剛好重復了2次。

所以，根據分布計數原理，可選數字共有兩種，再從選中的兩個數中確定一個重復的數字恰有兩位重復的數字有：。我稱這種方法叫做：實踐歸納法

解法四：先從4個數中選出兩個數，再從選中的兩個數中選一個數有種，如被選的重復數字是a，不重復的是b，如圖插空法b的填法就有三種不同的方法：

所以恰有兩位重復數字的三位數有（個）

其實第四種方法還可以推廣到有n個數字，其中有k（n>=k）個數字重復的情況，但是這種情況非常復雜，在高中研究是沒有什么作用的。因此，在這里就不再深入了。