在表征中磨礪思維在建模中滲透思想

馮桂群

【關鍵詞】近似數；表征；建模；數學思維；數學思想

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）11-0056-03

【課前思考】

《近似數》是蘇教版教材四年級下冊的學習內容，在此，教材第一次正式提出近似數的概念，并要求學生用“四舍五入法”求較大數的近似數。按照瞻前顧后、提前滲透的編排原則，2014年秋之后的蘇教版新教材在正式學習近似數之前就安排了相應的學習內容。如：在二年級下冊就向學生介紹了什么是“約等號”，要求學生判斷某些三位數或四位數接近幾百或幾千。即便如此，用“四舍五入法”求多位數的近似數仍是教學上的難點。主要原因有：（1）有關多位數的讀寫、估算等歷來是學習的一大難點；（2）教材在一課時內同時呈現求多位數近似數的三種類型和三種表述方式，容量大，易混淆；（3）求多位數的近似數要省略的尾數位數很多，而用“四舍五入法”時只看尾數最高位；（4）這里的省略尾數與語文學習中“省略即去掉”的含義是不相同的，學習時容易出現負遷移。

基于對教材和學生的解讀與分析，我們緊扣求近似數的數學本質，引領學生生成了極具生長性和結構性的求近似數的思維流程，并著力引領學生在畫圖、標注、表述等多元表征中明晰思路、凸顯方法、建構模型，以期突破教學難點，磨礪學生的數學思維，提升他們的數學素養。

【教學過程及意圖】

一、在生活情境中走近近似數

孩子們，知道這位慈祥的老人是誰嗎？對，他就是我國著名的數學家華羅庚。請看他的一段名言，齊讀：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。

無處不用數學！說得多好啊！我們身體里就藏著有趣的數學，請看一組數據——成年人全身有206塊骨頭，人的舌頭由17塊肌肉組成，人大腦中的神經細胞有100億左右，咽喉是人體最繁忙的通道，在人的一生中大約有40噸食物通過。上面的數中，有的能夠精確地描述事物的實際數量，我們稱為精確數；有的是跟精確數比較接近的數，我們稱為近似數，今天這節課我們就一起來研究近似數。（板書：近似數）

由華羅庚的名言引出生活中的數學，再引出精確數與近似數，這樣的導入讓學生感到親切、自然，更讓學生在豐富而鮮活的數學文化中感受到數學與生活的聯系，從而產生探究近似數的熱情，在生疑和提問中興致勃勃地走進探究之旅。

二、在探究情境中研究近似數

1.認識近似數。

上面的4個數中，哪些是精確數？哪些是近似數？你是怎么想的？

從“左右”“大約”這兩個詞可以看出，其中的“100億”和“40噸”這兩個數不是精確數，而是和精確數比較接近的近似數。

生口答書上第22頁的“練一練”。

在生活或學習中，你還見過哪些近似數？老師這里也有一些近似數，誰來讀一讀？（我們每個人的頭發有10萬根左右；我國現有人口約14億；我國國土面積大約是960萬平方千米……）看到這些近似數，你有什么感受？

在計算中我們也遇到過近似數，比如在進行□□□÷8□的試商過程中，我們常用多少來快速試商的？（80或90）在這里，80其實就是哪些數的近似數？（81—84）90呢？（85—89）

小結：在生活或學習中，有時需要用精確數，有時用近似數來表示反而更方便、更快捷！

從社會生活中的近似數到數學計算中的近似數，讓學生親歷建構近似數概念的過程，使他們感悟到近似數在實際生活與學習中的廣泛運用，同時激活了學生用“四舍五入法”求近似數的相關舊知，為他們的進一步學習埋下了伏筆。

2.在數形結合中求近似數。

過渡：我們已經會求兩位數的近似數了，那較大數的近似數該如何來求？請看一組信息（呈現例7，生讀題）。

這個城市的實際人口會跟表中的數量一樣始終不變嗎？為什么？對了，由于每時每刻都可能會有人出生或死亡，所以這個市的人口總是在不斷變化，不過這種變化的幅度一般很小，所以通常用近似數來表示人口，那這個市的男性和女性人數各接近多少萬呢？（生口答：38萬，39萬）

啟發：是不是這樣呢？我們不妨借助直線圖來驗證一下。在這條直線上，這兩點分別表示38萬和39萬。將這兩點間的一段平均分成10份，每份是多少？你是怎么想的？讓我們從38萬起一千一千地數到39萬。數出的數中哪個恰好在38萬和39萬的正中間？對，這一點就表示385000。那表示男性和女性人數的點大約在直線的哪個位置呢？在作業紙上分別描出來，再指給同桌看一看。

追問：仔細觀察，男性和女性的人數各接近多少萬？你是怎么想的？

小結：無論是觀察圖上點的位置，還是比較它們千位上數的大小，我們都發現男性人數接近38萬，女性人數接近39萬。精確數和它的近似數之間要用什么符號連接？（約等號）所以，384204≈38萬，386685≈39萬。

通過例題的學習，讓學生感受到一個城市的人口是不斷變化的，一般情況下很難也不需要得到一個精確數，所以通常用近似數來表示人口，從而突顯了近似數的本質特征。之后，讓學生借助直覺、畫圖和看千位上數字的大小等方法，得出男性人數和女性人數分別接近38萬和39萬，為下面介紹用“四舍五入法”求近似數積累了豐富的表象與活動經驗。

3.用“四舍五入法”求近似數。

說明：為了方便、快捷地求一個數的近似數，通常要用到“四舍五入法”。

以386685為例，要將它保留到萬位，就是要省略哪一位后面的尾數？看尾數的哪一位“四舍五入”？何時“四舍”？何時“五入”？（板書：保留到萬位就是省略萬位后面的尾數；看尾數最高位上的數“四舍五入”；0—4；5—9）在這里，保留部分是多少萬？（38萬）再看要省略的尾數最高位上是多少，是“四舍”還是“五入”，最后將尾數的各位都改寫為0，求得約等于390000，當然也可以寫成以“萬”作單位的數（39萬）。誰能連起來說一說如何求它的近似數？（先看保留部分是38萬，再看尾數最高位上是6，要“五入”，向前一位進1，最后求得約等于39萬）

強調：為了清晰地展示求近似數的過程，建議大家用橫線標出保留的部分，用小點標出尾數的最高位，“五入”時在前一位上方標出要進的1。

如何求男性人數的近似數呢？你能清晰地寫出解題思路嗎？在作業紙上寫一寫，再跟同桌說一說。看！ 寫對了嗎？誰來說一說思路？（先看保留部分是38萬，再看尾數最高位上是4，要“四舍”，最后求得約等于38萬）

追問：用“四舍五入法”求得的近似數，和剛才看圖求得的結果一樣嗎？要快速求一些數的近似數，你選擇畫圖法還是“四舍五入法”？為什么？

用“四舍五入法”完成教科書第24頁的第7題。之后請某個4人小組上臺來展示解答過程。

追問：用“萬”作單位寫近似數，是什么意思？（就是保留到萬位求近似數，就是省略萬位后面的尾數求近似數）對，這3種說法表達的是一個意思。

啟發：大膽推想一下，如果要保留到億位求近似數，怎么辦？（保留到億位，就是省略億位后面的尾數，看尾數最高位上的數“四舍五入”）

生獨立完成教科書第24頁的第6題，并交流思路。 啟發：再大膽推想一下，只保留一個數的最高位求近似數，怎么辦？（保留到最高位，就是省略最高位后面的尾數，看尾數最高位上的數“四舍五入”）

請看705，你能保留它的最高位求近似數嗎？可以怎么想？（先看最高位上是7個百，再看尾數最高位上是0，要“四舍”，最后求得約等于700）教科書第24頁第9題的其余4個數，你也能這樣求它們的近似數嗎？寫好了在4人小組里交流并準備展示。

生獨立完成后請某個4人小組上臺交流展示。

追問：剛才我們研究了如何省略萬位、億位和最高位后面的尾數求近似數。數學上的省略尾數，是不是說不管尾數是大是小，一律省略不看？（省略前要看尾數最高位，確定是“四舍”還是“五入”）你覺得求近似數時要注意什么？（要明確保留的部分在哪里，省略的尾數最高位在哪里，尾數最高位上是0—4就“四舍”，是5—9的就“五入”）

借助由扶到放的探究過程，學生完整地經歷了用“四舍五入法”來求一個數保留到萬位、億位和最高位的近似數的過程，并借助標注和表述，生成了具有結構性、生長性和通融性的思維流程（先……再……最后……），同時提煉出了直擊數學內核的解題模型，即將某數保留到某位，就是省略某位后面的尾數，看尾數最高位上的數“四舍五入”，很好地凸顯了求近似數要關注的兩個關鍵點——保留部分和省略部分的最高位，使看似復雜的知識及其內在聯系頓時變得清晰起來，很好地突破了學習難點。

三、在應用情境中活用近似數

1.求我國總人口的近似數。

2010年的人口普查顯示我國總人口為1370536875人。如果將它分別省略最高位、億位、萬位后面的尾數求近似數，結果是多少呢？請將思路清晰地寫出來并在4人小組里交流。

追問：比較一下，用哪個近似數來表示我國人口數更好些？（“14億”既簡潔又更接近精確數）

小結：看來，究竟要保留到哪一位求近似數，要根據實際情況靈活確定。

2.完成教科書第24頁的第10題。

通過求我國總人口的近似數，既讓學生感受到近似數在實際生活中的廣泛運用與實際價值，又鞏固了求近似數的三種類型，培養了學生活學活用的實踐能力。

四、在反思情境中總結提升

1.總結反思：這節課你有哪些收獲？

2.拓展延伸：孩子們，還記得我們身體里的數學嗎？人一生要吃下大約40噸食物。看到這個近似數，小明決定用實際行動來報答地球母親。他去年全年共收集的飲料瓶數保留最高位約2000只。如果這2000只是用“四舍”的方法得到的，那原來的數量最大是（ ）只，最小是（ ）只；如果是用“五入”的方法得到的，那原來的數量最大是（ ）只，最小是（ ）只。這一問題就留著大家課后去研究，希望大家和小明一樣，爭做環保小達人。

借助總結反思，讓學生對本節課的學習內容有一個清晰而完整的理性認識；借助拓展延伸，滲透感恩教育和環保意識，讓學生在解決富有挑戰性的實際問題中將數學學習由課內延伸到課外。

【教后反思】

1.讓學生在標注、表述等多元表征中成為數學思維的高手。

教學實踐表明，凸顯數學本質同時又適合學生表達的多元表征，是引領學生成為思維高手的重要抓手。仔細研讀教材，我們會發現，無論是四年級求大數的近似數還是五年級求小數的近似數，都涉及這個數的保留部分和省略部分的最高位。所以，將這兩個關鍵部分標注出來，并將解答過程有序、清晰、動態地表征出來，就成了引導學生學會思考的重要腳手架。為此，教師引導學生借助數學符號將求近似數的過程標注得一清二楚，同時引領學生借助關聯詞先、再、最后等將思維流程大聲表達出來，從而使看似復雜的隱性思維過程得以顯性化、有序化、條理化，同時強化了學生的符號意識和策略意識，培養了學生的推理能力和表達能力。

2.讓學生在抽象、推理等多維思考中成為數學建模的高手。

布魯納說：“獲得知識如果沒有完美的結構將它聯系在一起，那是一個多半會被遺忘的知識。一串不連貫的結論在記憶中僅有短促的可憐的壽命。”仔細分析求大數近似數的三種類型（保留到萬位、億位和最高位），我們發現了它們的共同點——保留到哪一位，就要省略那一位后面的尾數，看尾數最高位上的數“四舍五入”。于是，我們借用一個結構完全相同的句式，引導學生在抽象、推理中建構求近似數的數學模型——保留到（ ）位，就是省略（ ）位后面的尾數，看尾數最高位上的數“四舍五入”。這樣，求近似數的知識隨著統一的數學模型的建構變得“百毛皆順”，學生成了數學建模的高手。

（作者單位：江蘇省南通師范學校第一附屬小學朝暉校區）