永磁轉子偏轉式三自由度電機建模與結構分析

李　爭, 倫青青, 王群京, 張　璐

(1. 河北科技大學 電氣工程學院, 050018 石家莊； 2. 安徽大學 工業節電與電能質量控制省級協同創新中心, 230039 合肥)

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永磁轉子偏轉式三自由度電機建模與結構分析

李爭1, 倫青青1, 王群京2, 張璐1

(1. 河北科技大學 電氣工程學院, 050018 石家莊； 2. 安徽大學 工業節電與電能質量控制省級協同創新中心, 230039 合肥)

摘要:針對以往研究中單層結構永磁轉子三自由度電機轉矩特性的不足，提出一種新型永磁“蝶形”轉子偏轉式三自由度運動電機，采用球坐標系下分離變量法和洛倫茲力法分別對電機氣隙磁場和轉矩進行解析建模，確定氣隙磁場空間諧波含量和結構參數對基波磁通密度和轉矩幅值的影響，同時進行三維有限元仿真分析. 通過研究兩種計算方法下氣隙磁場、自轉和偏轉轉矩的特點及規律，并進行對比分析. 結果表明：“蝶形”永磁轉子結構的氣隙磁通密度分布和轉矩特性優于單層結構，氣隙磁通密度徑向分量空間分布近似平頂波，轉子中間層磁極的氣隙磁通密度幅值最大，解析法與有限元法的計算誤差均小于6.7%. 關鍵詞: 永磁轉子； 三自由度電機； 解析法； 有限元法； 磁場； 轉矩

隨著工業智能化的迅速發展，具有多個自由度運動的執行機構的應用越來越廣泛，然而傳統的多自由度電機往往是由多個單自由度電機協調控制，這種機構體積龐大，控制難度大，精度低. 本文提出的新型“蝶形”轉子偏轉式三自由度運動電機不僅能夠實現三自由度運動，還具有體積小、重量輕、力能指標高、控制簡單等優點，因此在機器人、機械手臂、電動陀螺、機床加工以及全景攝像云臺等設備中都有著廣泛的應用前景[1-3].

從上世紀50年代起，各國學者紛紛開始對球形電機展開研究. 英國Sheffield大學設計出了二自由度永磁球形電機，利用霍爾傳感器來檢測轉子位置，基于洛倫茲力法建立電機轉矩模型[4-5]. 1999年，美國約翰霍普金斯大學設計了一種永磁球形步進電動機，并利用純幾何方法與函數分析方法對電機換相問題進行了分析[6-7]. 近年來，新加坡南洋理工大學Yan L等研制了可實現自轉、傾斜和俯仰的三自由度永磁球形直流電動機，國內的研究人員也在致力于新結構多自由度電機的研究和創新[8-12]. 本文提出的新型永磁“蝶形”轉子偏轉式三自由度電機可在以繞Z軸自轉為主的情況下實現繞X軸和Y軸適當的偏轉. 本文首先對該電機結構參數和工作原理進行介紹，采用解析法對電機氣隙磁場和轉矩進行建模和分析計算. 在此基礎上，對氣隙磁場空間諧波含量對基波磁通密度和轉矩幅值的影響進行分析. 為了驗證解析法建模的正確性，本文采用有限元分析方法分別對磁場和轉矩進行了分析，建立了三維電機結構模型. 最后通過對兩種方法的對比，驗證了解析法模型建立的正確性，為進一步電機通電策略和懸浮的研究提供了理論依據.

1新型永磁轉子偏轉式三自由度電機結構

1.1電機結構

本文采用定轉子磁極為“4-6”配合的永磁轉子偏轉式三自由度電機為分析對象，電機模型結構及實物如圖1所示，其中電機轉子采用釹鐵硼材料，形狀近似“蝶形”，分為3層，每兩層之間的夾角為20°. 為了更好對電機進行控制，定子線圈也采用3層結構，每層6個共18個的排列方式. 通過對不同定子線圈通電，可以實現在自轉為主的情況下進行適當偏轉，完成三自由度運動[13].

1.2電機工作原理

永磁轉子偏轉式三自由度電機的工作原理是以永磁體產生的磁場和定子線圈通電后產生的磁場相互作用為基礎，根據同性磁極產生的作用力相互排斥，異性磁極產生的作用力相互吸引的原理來驅使電機完成三自由度的運動. 以繞X軸偏轉為例，如圖2所示，當給1-2, 3-5號定子線圈施加直流電，使其產生N極；給2-2, 3-2, 1-5, 2-5號線圈施加直流電，使其產生S極，合成的電磁力將會驅動電機轉子沿X軸偏轉運動. 同理，通過對不同位置的定子線圈及通電個數進行控制，可以使得電機完成三自由度的運動.

(a) 電機結構模型　　　　　　　　　　　 (b) 轉子結構模型　　　　　　　　　　　　　 (c) 電機實物

(a)俯視圖

(b) 切面圖

2解析法建模與分析

2.1解析法磁場建模

由于該電機轉子采用3層蝶形轉子結構，需要在球坐標系下求解三維氣隙磁場. 永磁轉子偏轉式三自由度電機氣隙磁場由定子線圈和轉子磁極共同產生，但由于定子線圈通電產生的磁場較轉子磁極產生的小很多，因此轉子磁極產生的外部磁場是氣隙磁場的主要部分. 以下主要對轉子磁極外部氣隙磁場進行分析[14-16].

由于本電機結構的轉子是由3層“圓鼓形”轉子疊加組合成的“蝶形”新結構，因此在計算氣隙磁場時采用的分層計算,然后再相疊加的方法. 當永磁材料內部磁場移動時，永磁體的剩余磁化強度相應發生變化，能夠在其周圍產生新的磁場[17-18]. 因此在球坐標系，上層永磁體剩余磁化強度為

(1)

式中：

(2)

式中：

下層永磁體剩余此磁化強度為

(4)

由球諧函數理論可以求得，在球坐標下三維標量磁位解析方程的通解可以表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

通過分層計算出上、中、下3層轉子磁極分別產生的氣隙磁場，然后將3層磁極產生的氣隙磁場進行疊加，既可以得到該蝶形轉子電機產生的氣隙磁場. 2.2解析法磁場諧波分析

永磁“蝶形”轉子偏轉式三自由度電機的氣隙磁場沿θ和φ方向具有不同階次的諧波含量，這些諧波含量的階次與幅值由剩余磁化強度M0r的球諧函數系數Cn,m決定，其中m決定了沿φ方向的諧波分量階次，而n決定了沿θ方向的諧波分量階次. 由剩余磁化強度Mrr(θ,φ)展開的連帶勒讓徳函數的二重廣義傅立葉級數形式為

(9)

其中Cn,m=|Mr|cmn(am±bmi).

設Q=|am±bmi|， 圖3、4分別給出了Q=|am±bmi|和c2n隨m、n的變化. 由圖3可看出，當m=2,6,10,14,22,26,30時，Q≠0. 對于極對數p=2的磁體結構，磁場沿φ方向的諧波分量次數為v=m/2,m=2為磁場沿φ方向的基波含量，且在各次諧波中，基波含量最大. 由圖4可以看出，m=2時，磁場沿θ方向諧波含量相當豐富，磁場沿θ方向的諧波分量次數為ω=n/2,同樣n=2為磁場沿θ的基波含量.

圖3　Q隨m的變化

圖4　c2n隨n的變化

由于諧波含量的幅值與階次是由轉子磁極的剩余磁化強度系數Cn,m決定，圖5給出了球諧函數Cn,m的分布. 由圖可看出，當m=2,n=2,4,6,8,…時，Cn,m≠0. 隨著階次n的增加，幅值逐漸減小. 因此，當球諧函數階數為m=2,n=2時求解的結果為氣隙磁場的基波分量，且基波分量幅值最大.

2.3解析法氣隙磁場分析

由以上分析可知氣隙磁場中基波含量最高，且只有氣隙磁通密度的徑向分量能夠產生電磁轉矩，因此將氣隙磁密徑向基波分量進行提取. 圖6為氣隙磁密基波分量B1r沿θ和φ方向的變化. 從圖6可知，氣隙磁通密度基波分量沿φ方向按余弦曲線分布，在兩極交界處幅值達到最大，沿赤道一周具有兩個正峰值點和兩個負峰值點，這與蝶形轉子4極磁體結構相一致；沿θ方向出現與轉子3層結構相符的3層波形，且中間層轉子磁極產生的氣隙磁通密幅值大于上、下兩層的氣隙磁通密度，即在θ=90°時，磁密幅值最大.

圖5　球諧函數系數Cn,m

圖6　徑向氣隙磁密基波分量空間分布

2.4轉矩模型建立

在求解轉子偏轉式三自由度電機轉矩時，為了使得球坐標系下的計算更簡便，將線圈用圓錐形來近似代替進行計算. 運用洛倫茲力法可求得的每個線圈dl上產生的電磁力為

(10)

由于該電機氣隙磁場中只有沿r方向產生的電磁力才能產生驅動電機旋轉的力，因此本文通過求取氣隙磁通密度徑向分量來求解電機轉矩，即

(11)

“蝶形”轉子偏轉式三自由度電機可以實現繞Z軸自轉和沿X，Y軸偏轉，因此將轉矩求解分為自轉轉矩求解和偏轉轉矩求解，可以表示為

(12)

(13)

圖7、8分別給出了電機自轉轉矩和偏轉轉矩的三維空間分布圖. 由圖7可知，自轉轉矩在一個周期內具有4個極值，變化趨勢與氣隙磁通密度徑向分量相似. 當φ=k·90°(k=0,1,2,3)時出現極值，在φ=k·45°(k=1,3,5,7)時為0. 自轉轉矩沿θ方向，在θ=90°時達到最大值. 由圖8可以看出，偏轉轉矩沿φ方向按正弦曲線變化，其周期為自轉轉矩的兩倍，在φ=k·45°(k=1,3,5,7)時偏轉轉矩取得最值，在φ=k·90°(k=0,1,2,3)時為0. 偏轉轉矩沿θ方向，在θ=90°時為0. 由于轉子采用3層結構，自轉轉矩和偏轉轉矩會出現與3層結構相符的變化趨勢.

圖7　自轉轉矩分布

圖8　偏轉轉矩分布

3有限元法建模分析

有限元法是以變分原理和離散化近似差值為基礎的一種數值計算方法. 本文利用有限元軟件對該新型三自由度電機結構進行建模分析[19-21]. 在求解三維靜磁場的過程中,磁感應強度B(x,y,z)是在x ,y ,z3個方向的矢量函數. 由于只有氣隙磁通密度的徑向分量能夠產生電磁轉矩，因此基于有限元分析原理，圖9給出了氣隙磁通密度徑向分布，由圖可知，由于有限元仿真得到的氣隙磁通密度徑向分量包含各次諧波，因此在空間內近似平頂波，出現兩個波峰、兩個波谷，與電機四極轉子結構相符.

圖10、11分別給出了有限元分析的自轉和偏轉轉矩分布圖. 由圖10可以看出，通過有限元仿真出的自轉轉矩沿φ方向，在一個周期之內具有兩個波峰和兩個波谷，這與電機轉子四極結構相符. 沿θ方向，在90°時達到最大值0.231 31. 圖11中，與自轉轉矩一樣，偏轉轉矩沿φ方向會出現4次波峰和四次波谷. 沿θ方向在90°時，偏轉轉矩為0. 在40°～140°時從中間向兩側有增大的現象，但在兩層轉子之間會相對減小，這主要是由于電機轉子產生的3層磁場所致即兩層轉子之間縫隙處磁場明顯減小. 通過對自轉轉矩和偏轉轉矩進行分析，為電機的通電策略提供了一定的理論依據.

圖9　有限元法徑向氣隙磁密空間分布

圖10　有限元法自轉轉矩空間分布

圖11　有限元法偏轉轉矩空間分布

4解析法和有限元法對比

通過將解析法和有限元法進行對比，說明了解析法建模的正確性，其中為了提高可比性并且使比較結果更加準確，解析法在計算過程中加入了3、5、7、9、11次諧波，氣隙磁場的對比結果如圖12所示. 從圖可知，解析法和有限元法變化趨勢一致，一個周期內出現了兩個波峰和兩個波谷. 兩者幅值略有差別，其中加入諧波后的解析法最大值為0.511 25 T，有限元法最大值為0.487 64 T，解析法幅值略大于有限元法幅值，這主要是由于有限元在仿真計算時考慮的諧波次數比解析法多，而增加的諧波含量對基波含量具有削弱的作用.

圖12　B1r沿φ方向的對比

圖13和圖14對電機自轉轉矩沿φ方向和偏轉轉矩沿θ方向的解析模型和有限元模型進行了對比分析. 由圖13可知，由解析法和有限元法獲得的蝶形轉子偏轉式三自由度電機自轉轉矩的分布基本一致，兩種方法的主要差別在于：有限元法的幅值略小于解析法，有限元法最大值為0.231 31 N·m，解析法最大值為0.241 67 N·m. 從圖14可以看出，偏轉轉矩在θ=90°時幅值為0，向兩側逐漸增大，但方向相反，在兩層交界縫隙處偏轉轉矩有所減小，這與轉子3層結構和其產生的磁場相一致. 兩種方法所得結果變化趨勢一致，解析法模型最大值為0.243 83 N·m，有限元法最大值為0.228 94 N·m，有限元法計算幅值大于解析法，且在轉子兩端部具有減小的特點，這主要是由于轉子在不同的緯度線上的漏磁不同，距離赤道越遠漏磁越大，因而當轉子偏轉到40°附近時，轉矩幅值明顯減小，當偏轉角度再增大時，電機轉矩將逐漸減小到0.

圖13　自轉轉矩對比

圖14　偏轉轉矩對比

表1對解析法和有限元法對比的結果進行了總結，將氣隙磁場φ方向分量Bφ和θ方向分量Bθ，自轉轉矩Tφ和偏轉轉矩Tθ的值進行了計算對比. 由表1可知，解析法和有限元法磁場和轉矩計算：氣隙磁場φ方向誤差為4.6%, θ方向誤差為6.7%，自轉轉矩φ誤差為4.28%, 偏轉轉矩誤差為6.11%，誤差均小于6.7%.

表1　解析法和有限元法數據比較

通過以上將磁場模型和轉矩模型分別采用解析法和有限元法進行對比，得出兩種方法所得磁場和轉矩變化趨勢一致，進而驗證了解析模型的正確性. 在對比分析過程中發現，解析法計算結果略大于有限元法，這主要是由于解析法建模過程中忽略了高次諧波，端部效應以及漏磁的影響，并簡化了電機邊界條件. 與解析法相比，有限元法更接近真實值. 但解析法表達式為顯性，更適合于對電機性參數進行分析.

5結論

1)分別采用解析法和有限元分別對新蝶形轉子偏轉式三自由度電機的磁場和轉矩進行了建模和分析. 通過磁場分析可得知該電機氣隙處磁通密度沿φ方向的諧波含量主要3、5、7、9等奇數次，而θ方向諧波含量相當豐富.

2)有限元法在仿真計算過程中不可避免地將所有諧波含量、漏磁和端部效應等影響加以考慮，因此氣隙磁通密度在空間的分布近似平頂波，磁場和轉矩的幅值略小于解析法. 轉矩的空間分布和磁場相似，只是出現幅值的位置不同.

3)通過將解析法和有限元法的對比，結果表明有限元法仿真出的氣隙處磁場、轉矩值與解析法計算的結果相吻合，進而驗證了解析法磁場和轉矩建模的正確性，并為電機通電策略和控制的研究奠定了基礎.

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(編輯魏希柱)

Modeling and structure analysis of a permanent magnet rotor deflection type 3-DOF motor

LI Zheng1, LUN Qingqing1, WANG Qunjing2, ZHANG Lu1

(1. School of Electrical Engineering, Hebei University of Science and Technology, 050018 Shijiazhuang, China;2. Collaborative Innovation Center of Industrial Energy Saving and Power Quality Control, Anhui University, 230039 Hefei, China)

Abstract:A new 3-DOF deflection type PM motor with a “butterfly” type rotor is proposed in this paper. In order to overcome the disadvantages of torque characteristics of the single layer structured permanent magnet 3-DOF motor mentioned in the previous research, the air-gap magnetic field and electromagnetic torque of the motor are analytically modeled using the seperation of variables method and the Lorentz force method in spherical coordinates. The space-harmonics of the magnetic field and the influence of structural parameters on the fundamental flux density and torque amplitude are defined; also the 3D finite element simulation and analysis are performed simutaneously. In the present study, the distribution characteristics and the regularities of air gap magnetic field, spin and deflection torque are investigated under different calculation methods. Simulation results show that the flux density distribution and torque characteristics with “butterfly” type permanent magnet rotor structure is superior to single layer structure. The spacial distribution of radial component of the flux density approximates the flat top waves and its maximum magnitude values appear in the middle layer of the rotor poles. The computation errors by the analytical and finite element methods are all less than 6.7%.

Keywords:PM rotor; 3-degree of freedom; analytical mode; FEM; magnetic field; torque

中圖分類號:TM351

文獻標志碼:A

文章編號:0367-6234(2016)03-0033-06

通信作者:李爭，Lzhfgd@163.com.

作者簡介:李爭(1980—)，男，教授.

基金項目:國家自然科學基金(51577048, 51107031);河北省自然科學基金(E2014208134);安徽省工業節電與電能質量控制協同創新中心開放課題基金 (KFKT201501).

收稿日期:2014-11-03.

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.03.006