二維分形表面電磁散射特性

齊　超， 劉偉健， 張　磊, 全　勇

(哈爾濱工業(yè)大學 電氣工程及自動化學院，150001 哈爾濱)

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二維分形表面電磁散射特性

齊超， 劉偉健， 張磊, 全勇

(哈爾濱工業(yè)大學 電氣工程及自動化學院，150001 哈爾濱)

摘要:為深入研究電磁波、光波探測信號與不規(guī)則背景表面之間的相互作用機理及物理本質，以便給雷達目標探測、不規(guī)則材料表面的探測與遙感提供必要的散射模型，對具有分形維度的二維粗糙表面采用帶限Weierstrass函數(shù)進行建模，推導了基于基爾霍夫近似理論的二維粗糙面散射場，在HH極化條件下，給出了該分形面的電磁平均散射系數(shù)和平均強度系數(shù)，通過理論分析和數(shù)值計算討論了粗糙面散射特性與諧波數(shù)、入射波波長、面分維等其他參量之間的關系. 結果表明，隨著分維和諧波數(shù)的增大，除鏡向反射以外，散射強度的幅值及其旁瓣分量是增大的. 為基于表面散射強度重構粗糙面的相關統(tǒng)計參數(shù)提供數(shù)據(jù). 關鍵詞: 分形表面； 電磁散射； 散射系數(shù)； 平均強度； 強度系數(shù)

近年來快速發(fā)展的隨機粗糙表面電磁散射理論和實驗研究越來越引起人們的重視. 許多理論和工程上的問題需要對粗糙面上的散射現(xiàn)象進行研究. 有關粗糙面散射理論在雷達目標成像、材料物理、環(huán)境遙感等領域都有廣泛的應用[1-2]. 關于粗糙面的電磁散射已有許多富有意義的研究成果，粗糙面散射研究中較為經(jīng)典的近似方法是基爾霍夫近似. 文獻[3]提出了一種分析導體目標電磁散射特性的有效數(shù)值方法. 文獻[4]通過實驗測定不同標準粗糙表面和典型目標表面密勒矩陣參數(shù)，得出具有高斯特性的不同粗糙表面的退偏振特性存在顯著差異. 文獻[5]從實驗角度測量樣品表面的光散射輪廓，引入自仿射分形隨機表面模型，成功提取了隨機表面參量，并驗證所得參量的正確性. 文獻[6]較完整地分析了具有分形特性的二維海平面的散射問題，其得出的結論對于靜止和動態(tài)且不具有高斯分布特點的分形表面是適用的. 文獻[7]由二維隨機粗糙面散射場方程出發(fā)，利用分形幾何方法模擬隨機粗糙面，研究了隨機表面散射光場與隨機粗糙面統(tǒng)計參量及其分形參量的關系.

以往的粗糙面散射研究中，通常采用特定的已知周期函數(shù)或隨機函數(shù)作為粗糙表面的數(shù)學模型，但在自然界中粗糙面既非純隨機也非完全周期的[8]. 從統(tǒng)計意義上來講，一般的二維隨機粗糙面在一定的標度之間都存在著自相似性或自仿射性，具有分形特點. 近年來有關一維分形粗糙面散射的研究較多，但到目前為止對更為接近于實際的，從分維角度研究二維分形粗糙面散射文獻較少. 本文通過采用修改的Weierstrass函數(shù)模擬二維分形粗糙面，利用基爾霍夫近似研究分形表面散射特性與分形參數(shù)之間的定量關系.

1表面模型建立

(1)

其中:cw為常數(shù)，使得W(x,y)具有單位擾動幅度，大小取決于材料本身；b(b>1)為空間基頻；D為分形維數(shù),2

當N和M不太大時，在x方向和y方向上是各向異性的，它具有較大的偏導數(shù)和自仿射結構，即使在很小的尺寸下，該函數(shù)模型也具有相同的粗糙度，因此這種分形表面為多測度表面. 由于自然界中實際的粗糙表面一般既不是純隨機的也不完全是純周期的，且經(jīng)常各向異性，因此式(1)是構建自然界分形粗糙面物理模型比較好的選擇. 當N=6,M=10,b=1.8不同分維下的二維分形表面模型如圖1所示. 由圖可見，當二維帶限Weierstrass函數(shù)中主要參數(shù)b、N、M不變時，二維分形表面的粗糙程度主要由分維D決定.

2分形表面散射場

基爾霍夫近似理論又稱為切平面近似，被廣泛用來分析表面散射問題，它是將粗糙曲面用局部切平面代替，由菲涅爾反射定律獲得切平面總場，從而近似計算遠區(qū)散射場. 本文利用基爾霍夫近似理論分析二維分形粗糙面散射特性，散射幾何示意圖如圖2所示.

為了推導二維粗糙面的散射場，現(xiàn)作如下假設：散射遠場作為觀測點，入射波為單一平面波，平面上任意一點具有有限坡度，反射系數(shù)為常數(shù)，粗糙面單向尺寸遠大于入射波長. 此時散射場矢量ψsc(r)表達式可通過入射角θ1、散射天頂角θ2和散射方位角θ3等表示為[10-11]

∫exp[ikφ(x0,y0)]dx0dy0+ψe.

(2)

其中:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(a) D=2.3

(b) D=2.9

圖2　 二維帶限分形粗糙面散射幾何示意圖

(11)

式中：Ψe為邊緣效應； (x0,y0)為二維分形表面上任意一點，且滿足-Lx≤x0≤Lx, -Ly≤y0≤Ly；

2.1散射場的平均散射系數(shù)

二維分形粗糙面的散射系數(shù)ρψ定義[12-13]為

(12)

式中ψsc0(r)指近光滑分形表面鏡像方向的散射場強,

(13)

令

(14)

2.2散射場的平均強度系數(shù)

散射場的平均強度定義為

(15)

(16)

(17)

3散射特性分析

圖3(a)～3(d)描述了由式(17)給出的平均強度數(shù)值結果，其中b=1.8, D=2.5, δ=0.05λ,θ1=30°, K=0.5λ-1, Lx=30λ. 圖3(a)和3(b)表示的是正弦光柵和各向同性表面結合的各向異性表面的平均強度系數(shù)；圖3(c)和3(d)表示的僅僅是一種各向同性表面的平均強度系數(shù). 由于這4個表面有相同的均方根高度，相同的入射角和波長，因此，在鏡像方向上這兩種散射強度具有基本相同的特定值. 圖3(a)和3(b)、圖3(c)和3(d)表明，N的變化對平均強度系數(shù)影響不大，各峰值的分布位置基本不變，只有微小的峰值變化，且當M較小時 ，散射主要集中在特定平面和特定方向上及其附近的區(qū)域；對比圖3(a)和圖3(d)可得，隨著M的增大，在鏡向反射點以外會出現(xiàn)越來越多的旁瓣分量，且分量的幅值是增大的. 由圖3的4個分圖可以看出，隨著分形表面各向同性分量的增加，更多的散射強度分量出現(xiàn)在非鏡像方向和沿著θ2的垂直平面方向上，鏡像方向上的散射對于探求分形參數(shù)對散射場不同影響有重要意義[14].

由散射場的統(tǒng)計參量定義，可推得表征與平均散射場均方根高度相關的強度系數(shù)σI為

(18)

(a) N=5, M=10

(b) N=10, M=10

(c) N=10, M=20

(d) N=20,M=20

(a) D=2.1

(b) D=2.8

顯然σI代表的是強度相關的非相干分量平均值，它主要用來分析除鏡像以外的散射場，分形參量對其有顯著的影響. 采用式(18)的優(yōu)點在于只需考慮散射場和散射強度的平均效應，而無需考慮較難獲得的散射波前相位項的影響. 根據(jù)式(18)可將參數(shù)選擇為b=1.8, N=5, M=10, D=2.5, δ=0.05λ, 然后選擇4種不同的散射形式(K=0.01λ-1,0.1λ-1,λ-1和10λ-1)對應如圖5所示.

對于K≤0.01λ-1,如圖5(a)所示，散射場的高頻分量集中在鏡像方向，對于這種表面而言，非鏡像方向散射強度會迅速下降，與近光滑表面散射特性基本相同，入射波長遠小于若干個空間周期，計算結果趨近于幾何光學近似. 當K≥10λ-1對應圖5(d)，空間周期遠小于入射波長，此時散射不滿足基爾霍夫近似的條件，散射場的均方根高度δ處處很小，該方法計算結果不可信，這種散射特性與完全均勻表面接近，此時入射波波長可以看成“小棍”用來測量粗糙表面. 對于0.01λ-1

(a) K=0.01λ-1, Lx=100λ

(c) K=λ-1, Lx=30λ

(b) K=0.1λ-1, Lx=100λ

4結論

1)在采用二維帶限Weierstrass分形函數(shù)模擬二維分形粗糙面的基礎上，利用基爾霍夫近似研究了該粗糙面的平均散射系數(shù)和散射強度系數(shù). 結果表明，對于微觀高度表達式中的每一個參量都影響著二維分形表面的散射特性，諧波數(shù)N、M和空間波數(shù)K都決定著散射場中旁瓣分量的位置和大小，應當注意K的選取與波長有關.

2)諧波數(shù)N和M也不能太小，否則粗糙表面將會變得很光滑，分形特性無法顯現(xiàn). 分析結果可用于粗糙面遙感和測量等研究，同時也可用于粗糙表面的分類以及根據(jù)所測得的不同形式散射場重構粗糙表面等逆問題.

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(編輯魏希柱)

Electromagnetic scattering on two-dimensional fractal rough surface

QI Chao， LIU Weijian， ZHANG Lei， QUAN Yong

(School of Electrical Engineering and Automation, Harbin Institute of Technology, 150001 Harbin, China)

Abstract:In order to further study the interaction mechanism and the physical nature between detection signal from electromagnetic waves and light waves and the background of irregular surface, which provided scattered model for the detection of radar target and the remote sensing of irregular surface. Two-dimensional band-limited Weierstrass function is used to simulate two-dimensional fractal rough surface. Two-dimensional rough surface scattering field is deduced based on the Kirchhoff approximation. The electromagnetic scattering coefficient and the average intensity coefficient of the rough surface is obtained under the HH polarization. The relationship between scattering characteristics and the harmonic number, the incident wavelength and dimension of fractal surface is discussed through theoretical analysis and numerical calculation. The results show that with the harmonic number and fractal dimension increases, apart from the mirror reflection point, the scattering intensity of the amplitude and its high-frequency component is increased. It provided scattering data for refactoring related statistical parameters of rough surface according to the scattering intensity.

Keywords:fractal surface; electromagnetic scattering; scattering coefficient; average intensity; intensity coefficient

中圖分類號:O436.2

文獻標志碼:A

文章編號:0367-6234(2016)03-0015-05

通信作者:齊超, qichao@hit.edu.cn.

作者簡介:齊超(1970—),女, 博士, 教授.

基金項目:國家自然科學基金(61178066)；

收稿日期:2015-04-17.

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.03.003

黑龍江省自然科學基金(F201013).