類比法在高中數學教學中的有效應用

【摘 要】探討類比法在高中數學知識教學、復習課教學、解題教學中的具體應用。

【關鍵詞】類比法 數學教學 有效應用

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）03B-0106-02

數學史告訴我們：許多關鍵時刻，數學家巧妙地運用類比推理從而得到數學的新發現，在科學道路上，獲得巨大的成功。天文學家開普勒說過：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師。”數學家拉普拉斯說：“甚至在教學里，發現真理的工具也是歸納和類比。”可見類比法常用于科學研究領域，如果把它作為一種思維方法應用在教學中，也是行之有效的。

數學知識與數學方法存在著大量相似的地方。在中學數學中，可類比的東西很多，教師若能很好地把它應用在教學中，讓學生嘗試運用，那么它在數學學習中會起到事半功倍的作用。

一、什么是類比法

類比法，也稱類比推理，是根據兩個或兩類事物有部分屬性相同或相似，推出它們在其他屬性上也可能相同或相似的思維推理方式。它是一種從特殊到特殊的推理，當兩者共同屬性越多，推理的正確度越高。

二、類比在高中數學教學中的有效應用

（一）在知識教學中的應用

1.橫向類比，加強學生對知識的理解和記憶

中學數學教材中有一些相近概念是難于讓學生理解和接受的。倘若在學習新知識時我們通過橫向類比，發現新舊知識的相同點，利用已有的舊知識，來認識新知識，會使學生更加容易理解新知識，同時也能突破教學難點，降低教學難度。

如，學習高中“映射”概念的時候，我們可以類比函數的概念，兩者的概念均要求：對應關系中集合 A 中的任意一個元素在集合 B 中都有唯一一個確定的元素與之對應，不同之處是函數中的集合 A、B 是非空數集，映射中的集合 A、B 是非空集合。這樣的類比，使原本難于理解的定義更清晰，并且理清了兩者的關系——函數是特殊的映射。

因為類比物具有某種相似性，所以只要記憶其中一類事物的某一屬性，就容易記憶另一類事物的相似屬性。例如，在等差數列{ an }中，有如下性質：

還有，如果 sn，s2n-sn，s3n-s2n，…成等差數列，那么可以類比得出 sn，s2n-sn，s3n-s2n，…成等比數列。

只要熟記等差數列的性質，等比數列的相應性質也隨之熟記。

由此可見，引導學生應用類比法得出新知識，同化新舊知識，便于記憶。

2.縱向類比，引起猜想，深化和拓展知識，激發學生的學習欲望

縱向類比，如平面向量與空間向量、平面幾何與立體幾何的某些對象類比等，數學知識在延伸拓展過程中常借助比較、聯想，啟發和誘導學生以求思維的變異與發散。在教學過程中，引導學生應用類比法，利于在已有知識、經驗的探索中歸納和總結出教材中的定理、公式，深化與拓展學生的知識。

例如，三棱錐的教學，總結出如下公式。

由表格前三行結論類比可知，平面三角形對空間三棱錐，線對面，長度對面積，一半對三分之一，我們可以大膽猜想內切圓相對應內切球，從而在空白處可填“三棱錐的體積等于其內切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一”。當猜想被證明成立后，將會誘發學生主動探索的欲望與熱情。這便是一種新知識“再發現”的體驗。在探索結果的同時，既使知識得到深化，又使內容得以拓展。

（二）在復習課教學中的應用

運用類比揭示知識的聯系，使知識系統化，網絡化。數學知識點很多，類比法可以作為知識聯系的橋梁，使知識脈絡清晰。如老師在章節復習時，可將各個知識點綜合起來，通過類比使零散的知識系統化、網絡化，這樣則有利于學生全面掌握。如在高中解析幾何的圓錐曲線一章中，橢圓、雙曲線、拋物線的知識中存在著同一性與差異性，所以教材在章節復習中，引入一個圖表，將三種圓錐曲線的方程形式、圖形、頂點坐標、焦點坐標、離心率等這些內容的同與異，一目了然地呈現在學生面前，便于學生類比記憶。

（三）在解題教學中的應用

1.將數學知識間類比，引導學生積極探求解題思路，克服盲目性

數學家波利亞說：“類比是一個偉大的引路人。” 當我們運用通式通法解決不了某些數學問題時，可以大膽地尋找與題目條件結構相類似的定理、公式進行類比，轉化為另一知識結構的數學問題，從而突破題目難點，探求到新的解題方向，使學生的思維寬度得以拓展提升。

如求函數的最小值問題。

由題目中的式子，容易聯想到兩點間距離公式，與之類比，將本題轉化為兩點間距離的最小值問題來解，即可有解法一。

〖解法一〗

若聯想到與復數 z=a+bi 的模類比，轉化為復數的模的最值問題來解，即可有解法二。

由此可見，解答數學題時應用類比進行思維分析，會克服盲目性，并能快速獲取思路和方法，提高解題效率。

2.跨學科類比，拓寬學生解題思路

宏觀世界的學科內容彼此相互聯系，如果能將其他學科的特性運用到數學學科中來，將會收到意想不到的奇效。如與物理光學性質結合解題的例子。

〖例〗如圖2，設F1，F2 是橢圓的兩個焦點，l 是橢圓的切線，A是F1 關于 l 的對稱點，求證：。

〖分析〗常用的方法，先設出切線的方程，再根據對稱性求出點A的坐標，最后由兩點間距離公式求，思路清晰但計算相當復雜。若能聯想到橢圓的定義，將問題轉化為先證F2，P，A三點共線，再聯想到與物理學科相關的橢圓光學性質知，由對頂角有，因此，證明便容易。

總之，在中學數學教學中若能靈活地運用類比法，并有意識地培養學生的類比思維，則不僅能幫助學生有效地掌握數學知識，提高解決數學問題的能力，而且還能使學生的理性思維達到新的境界。

但我們要注意，類比是一種似真推理，必須要經過嚴格的邏輯論證，才能確定猜想的正確性。同時這里要特別指出，在類比過程中，既要講清它們的共同點，也要指出它們的不同之處，以培養學生用一分為二的辨證唯物主義的觀點看問題，能使學生更好地理解所學習的內容，在教學中起到舉一反三的好效果，類比的有效性才完全而真切地體現出來。

【參考文獻】

[1]湯服成，祝炳宏，喻平.中學數學解題思想方法[M].廣西師范大學出版社，2000.12

[2]稍齊昌.數學課的對比式教學粗探[J].數學教學通訊，1981（1）

【作者簡介】黃玉鳳，女，壯族，理學學士，崇左市天等縣高級中學教師，中學一級教師，研究方向：高中數學教學。

（責編 盧建龍）