巧用類比明晰數(shù)式關(guān)系
——《分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系》教學(xué)片斷

田秋月

片斷一：巧用類（對(duì)）比，聚焦問題

【第一組】

問題1：把8個(gè)桃子平均分給4個(gè)人，每人分得幾個(gè)？

問題2：把4個(gè)桃子平均分給4個(gè)人，每人分得幾個(gè)？

【第二組】

問題3：如圖這兩組題有什么相同與不同？

生：這兩組題都是平均分，所以都用除法計(jì)算。

生：都已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)，所以用總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)。

生：1÷4=?（塊），3÷4=?（塊）。

師：從這兩組問題算式所得的商來看，有不同之處嗎？

生：第一組的除法能整除，商是整數(shù)；第二組不能整除，商需用分?jǐn)?shù)表示。

【設(shè)計(jì)意圖：借助類比和對(duì)比有效利用問題情境，學(xué)生列式時(shí)思路連貫地想到：平均分的問題用除法解決。然而相同之中也有區(qū)別，前兩個(gè)算式“8÷4、4÷4”都能算出整數(shù)商，而“3÷4”卻不然。這一變化刺激學(xué)生打破已有認(rèn)知限域，促使其關(guān)注新問題：除法算式得不出整數(shù)商時(shí)該怎么算？于是帶著這樣的任務(wù)驅(qū)動(dòng)開始接下來的探究活動(dòng)。】

片斷二：巧用類比，轉(zhuǎn)化問題

師：1個(gè)月餅平均分給4個(gè)人，每人分得（）個(gè)。

生：（用一個(gè)圓紙片演示過程）把一塊月餅平均分成4份，一份就是。

學(xué)生匯報(bào)：

方法一：逐一剪、分。

方法二：全部剪完再分：

生：如圖把3個(gè)圓片都平均分成4份，共有12塊，再將12塊均分給4人，每人分得3塊。

師：按照他的意思就是每人分得3塊月餅，同意嗎？

生：不同意，一共就3塊月餅，平均分給4個(gè)人，每人連1塊都分不到，不可能分得3塊。

方法三：疊起來整體分：

生：如圖把3個(gè)圓片疊在一起，看成一個(gè)整體，把這個(gè)整體平均分成4份，每人得到1份，就是，實(shí)際展開有3塊，即3個(gè)是塊。把3塊月餅平均分成4份，每份是塊，所以3÷4=（塊）。

師：這三種方法操作起來各有特色，但也有相同的地方，發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：方法一、二都是把1個(gè)圓片看成單位“1”，平均分成4份，每份就是，3個(gè)塊就是塊。

生：方法三是方法一的簡化操作版，一起剪、一起分，每份是3個(gè)塊，就是塊。

【設(shè)計(jì)意圖：將抽象的“3÷4”轉(zhuǎn)換成一個(gè)具體的、可視的分餅活動(dòng)，方法一是分割1塊餅的行為的重復(fù)，體現(xiàn)了累加的過程；方法二是整數(shù)計(jì)數(shù)思路，也是學(xué)生最容易理解、從而也比較喜歡的一種方式，將3塊餅轉(zhuǎn)化成12個(gè)塊，再均分給4人，每個(gè)人得到的是3個(gè)塊即塊；方法三是把3塊餅“摞”成1個(gè)整體，整體4等分，每份由塊餅構(gòu)成。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些方法進(jìn)行類比，凸顯過程的本質(zhì)是“單位的累加”——前者疊加的是“”，后者疊加的是“”。每份累積了幾個(gè)“1”就是幾，幾個(gè)就是四分之幾。】

片斷三：巧用類比，深化關(guān)系

師：現(xiàn)在不再分月餅，而要分瓜子了！把不同質(zhì)量的瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

總質(zhì)量 1千克 2千克 5千克每份質(zhì)量

問題1：把1千克瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

問題2：把2千克瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

問題3：把5千克瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

教師出示表格并延長：（a、b為非零自然數(shù)）

總質(zhì)量 1千克 2千克 5千克 10千克a千克每份質(zhì)量 1 3千克 2 3千克 5 3千克

師：總質(zhì)量是10千克呢？

師：如果是任意一個(gè)非零自然數(shù)a呢？

師：如果a千克瓜子不是平均分成3份，而是平均分成b份呢？

【設(shè)計(jì)意圖：瓜子總質(zhì)量分別設(shè)置為1千克、2千克、5千克、10千克、a千克，旨在幫助學(xué)生逐步積累分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的體驗(yàn)，最后歸納、概括為形式化的表征——a÷b=。大量的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)累積到一定程度，遇到類似問題時(shí)就不需要、也不可能每次都分餅、畫圖、去找原始方法了，一般化法則就水到渠成了。】

【編輯點(diǎn)評(píng)】

田老師教學(xué)的《分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系》，有鮮明的教學(xué)特色。主要體現(xiàn)在三個(gè)方面，一是基礎(chǔ)性、二是開放性、三是發(fā)展性。

基礎(chǔ)性 表面看，分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系研究的是關(guān)系，但學(xué)生要形成對(duì)這個(gè)關(guān)系的理解，是以分?jǐn)?shù)的意義為基礎(chǔ)的，其中最重要的是單位分?jǐn)?shù)的意義。教學(xué)中，田老師通過類比與對(duì)比的方法，幫助學(xué)生理解算式與結(jié)果的含義。由于分?jǐn)?shù)與除法共享平均分的概念，上面的問題，可以用除法計(jì)算，用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果。讓學(xué)生先理解“1塊月餅平均分給4個(gè)人，每人分得多少”，再思考“3塊月餅平均分給4個(gè)人，每人分得多少”。類似的，要求“把2千克或5千克瓜子平均分給3個(gè)人，每人分到多少千克”，也可以回到原點(diǎn)上，先思考“1千克瓜子平均分給3個(gè)人，每人得多少”。以理解單位分?jǐn)?shù)作為思考的基礎(chǔ)，讓學(xué)生通過類比與對(duì)比解決問題，不僅是一種教學(xué)的手段，也是解決問題的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

開放性 這節(jié)課教學(xué)的核心問題是3個(gè)月餅平均分給4個(gè)人，每人分得幾個(gè)？答案是一致的，就是，可是學(xué)生探索得到這個(gè)答案的過程是相當(dāng)開放的，不同的學(xué)生有不同的思路。比較可貴的是田老師在教學(xué)中，充分地放手讓學(xué)生去探索研究，并解釋他們獲得這個(gè)結(jié)論的過程。可以看到，面對(duì)這個(gè)問題，有的學(xué)生轉(zhuǎn)化為整數(shù)進(jìn)行思考，如方法二；有的學(xué)生通過單位分?jǐn)?shù)的累加獲得答案，如方法一和方法三。但是，從外在的形式上看，這兩種又是有區(qū)別的，相比較而言，方法三操作比較簡單，但對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解要求要高一些。課堂教學(xué)的開放性，主要體現(xiàn)在過程上，特別是充分地展開探索發(fā)現(xiàn)的過程，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)交流各自不同的思考方法，學(xué)生的視野才會(huì)開闊，思維能力才能得到發(fā)展。

發(fā)展性 這節(jié)課與其說是教學(xué)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，不如說是教學(xué)除法運(yùn)算轉(zhuǎn)為分?jǐn)?shù)表示的規(guī)律，就是被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。田老師在教學(xué)中，通過列表的方式，引導(dǎo)學(xué)生思考1千克、2千克、5千克、10千克、a千克瓜子平均分成3份，每份是多少。顯然a千克的均分要比其它具體數(shù)量的均分更加抽象，但有了前面積累的類比與對(duì)比的思維經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)，學(xué)生理解并不難。需要強(qiáng)調(diào)的是，從已知量到未知量的跨越是非常重要的，它是對(duì)前面具體案例的概括，它有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)與除法有恒定的關(guān)系，對(duì)于學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展是一個(gè)重要的推動(dòng)。