提煉數(shù)學(xué)開(kāi)放題激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)能力

朱祖旭

摘 要：開(kāi)放題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種新題型，它是相對(duì)于傳統(tǒng)的封閉題而言的。開(kāi)放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識(shí)，這是一種新的教育理念的具體體現(xiàn)。本文就學(xué)生開(kāi)放意識(shí)的形成、開(kāi)放問(wèn)題的構(gòu)建、開(kāi)放問(wèn)題的探索等方面談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；開(kāi)放意識(shí)；問(wèn)題意識(shí)

中圖分類(lèi)號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）09-320-01

經(jīng)過(guò)幾年的教育改革和教材的變更，學(xué)生們?cè)谡n堂上的接收知識(shí)的能力和效率越來(lái)越受到重視和關(guān)注。如何將數(shù)學(xué)課堂生機(jī)勃勃，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，需要學(xué)生一定的開(kāi)放意識(shí)。在教材還沒(méi)有提供足夠的開(kāi)放題之前，好的開(kāi)放題從那里來(lái)？我認(rèn)為最現(xiàn)實(shí)的辦法是讓“封閉”題“開(kāi)放”。

一、開(kāi)放意識(shí)的形成

學(xué)習(xí)的更高境界是提出新問(wèn)題、提出解決問(wèn)題的新方案。因此首先必須改變那種只局限于教師給題學(xué)生做題的被動(dòng)的、封閉的意識(shí)，為此，我們選擇了數(shù)學(xué)開(kāi)放題作為一個(gè)切入口，開(kāi)放題的引入，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育的開(kāi)放化和個(gè)性化，從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

關(guān)于開(kāi)放題目前尚無(wú)確切的定論，通常是改變命題結(jié)構(gòu)，改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，增強(qiáng)問(wèn)題的探索性以及解決問(wèn)題過(guò)程中的多角度思考，對(duì)命題賦予新的解釋進(jìn)而形成和發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題。例如2000年理19文20題。

函數(shù)單調(diào)性的參數(shù)取值范圍問(wèn)題（既有條件開(kāi)放又有結(jié)論的開(kāi)放，條件上，對(duì) ，是選擇 ，還是選擇 ？選擇前者則得 ，以后的道路荊棘叢生，而選擇后者則有 ，以后的道路一片光明；結(jié)論開(kāi)放體現(xiàn)在結(jié)論分為兩段，一段上可使函數(shù)單調(diào)，另一段上不單調(diào)，且證明不單調(diào)的方法是尋找反例）；

二、開(kāi)放問(wèn)題的構(gòu)建

有了開(kāi)放的意識(shí)，加上方法指導(dǎo)，開(kāi)放才會(huì)成為可能。開(kāi)放問(wèn)題的構(gòu)建主要從兩個(gè)方面進(jìn)行，其一是問(wèn)題本身的開(kāi)放而獲得新問(wèn)題，其二是問(wèn)題解法的開(kāi)放而獲得新思路。根據(jù)創(chuàng)造的三要素：“結(jié)構(gòu)、關(guān)系、順序”，我們可以為學(xué)生構(gòu)建由“封閉”題“開(kāi)放”的如下框圖模式：

例1：由圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)向x軸作垂線。求垂線夾在圓周和x軸間的線段中點(diǎn)的軌跡方程。（《高中平面解析幾何》復(fù)習(xí)參考題題）

問(wèn)題本身開(kāi)放：先從問(wèn)題中分解出一些主要“組件”，如：A、“圓x2+y2=4”；B、“x軸”；C、“線段中點(diǎn)”等。然后對(duì)這些“組件”作特殊化、一般化等處理便可獲得新問(wèn)題。

對(duì)A而言，圓作為一種特殊的曲線，我們將其重新定位在“曲線”上，那么曲線又可分解成大小、形狀和位置三要素，于是改變條件A（大小或形狀或位置）就可使問(wèn)題向三個(gè)方向延伸。

如改變位置，將A寫(xiě)成“（x-a）2+（y-b）2=4”，即可得所求的軌跡方程為（x-a）2+（2y-b）2=4；再將其特殊化（取a=0），并進(jìn)行新的組合便有問(wèn)題：圓x2+（y-b）2=4與橢圓x2+（2y-b）2=4有怎樣的位置關(guān)系？試說(shuō)明理由。

簡(jiǎn)解：解方程組 得 y=0 或y=2b/3

當(dāng)y=0時(shí)，x2+b2=4，（1）若b<-2或 b>2，圓與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)；

（2）若b=±2，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)；

（3）若-2

當(dāng)y=2b/3時(shí)，x2+b2/9=4，同理可得解。

上面的解法是從“數(shù)”著手，也可以從“形”著手分析。

再進(jìn)一步延伸，得：當(dāng)b>6時(shí)，圓x2+（y-b）2=4上的點(diǎn)到橢圓x2+（2y-b）2=4上的點(diǎn)的最大距離是多少？這個(gè)問(wèn)題的解決是對(duì)數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想的進(jìn)一步強(qiáng)化。

對(duì)B而言，它是一條特殊的直線，通過(guò)對(duì)其位置的變更可產(chǎn)生許多有意義的問(wèn)題；而C是一種特殊的線段分點(diǎn)，同樣可以使其推廣到一般，若對(duì)由此產(chǎn)生的結(jié)果繼續(xù)研究就會(huì)發(fā)現(xiàn)以往的一些會(huì)考、高考試題。

三、開(kāi)放問(wèn)題的探索

開(kāi)放的行為給上面三個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題注入了新的活力，推陳出“新”、自己給自己出題是人自我意識(shí)的回歸。開(kāi)放的過(guò)程說(shuō)白了就是探索的過(guò)程。

例2：已知拋物線 ，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A（x1，y1），B（x1，y）兩點(diǎn)，P（x0，y0）是線段AB的中點(diǎn)；拋物線的準(zhǔn)線為l，分別過(guò)點(diǎn)A、B、P作x軸的平行線，依次交l于M、N、Q，連接FM、FN、FQ、AQ和BQ（圖略）

（1）試盡可能地找出：點(diǎn)A、B、P的縱、橫6個(gè)坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系；

圖中各線段的垂直關(guān)系。

（2）如果允許引輔助線，你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？

分析與解：（1）（a）點(diǎn)A、B、P的6個(gè)坐標(biāo)x1，y1；x2，y2；x0，y0之間至少有下列等量關(guān)系：

① ；② ；③ ；

④ ；⑤ ；⑥

“所有的畫(huà)都是以只有3種原色的方式構(gòu)成的。每當(dāng)我們把某樣?xùn)|西說(shuō)成是新的的時(shí)候，我們真正談?wù)摰氖乾F(xiàn)有元素獨(dú)特的存在方式。”具備對(duì)“封閉”題“開(kāi)放”的意識(shí)的學(xué)生，事實(shí)上就有了創(chuàng)造意識(shí)，這種意識(shí)驅(qū)動(dòng)下的實(shí)踐自然會(huì)使創(chuàng)造力得以發(fā)展；同時(shí)，隨著高考命題改革的進(jìn)一步深入，我想這樣的“開(kāi)放”會(huì)在高考中更顯示其生命力。