數學問題中的構造法淺談

陳芙蓉

摘 要：本文主要討論了解數學問題時幾種典型的構造方法，并總結了在使用構造法解題時的某些注意事項，以及構造法在解題時最常見的幾種應用。

關鍵詞：構造；轉化；變換

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）08-018-01

解決數學問題時，常規的思考方法是由已知到未知的定向思考。但有些問題按照這樣的思維方式來尋求解決問題的途徑卻比較困難，甚至無從著手。這種情況下，經常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考，找到一條繞過障礙的新途徑。構造法就是這樣的手段之一。

構造法的含義很廣：一般認為，在解題過程中，為了實現條件向結論的轉化，利用問題的特殊性設計一個新的關系結構系統去實現原問題的解決，這種思維活動的特點在于“構造”，所以稱為構造思想。應用構造思想去發現數學理論和解決數學問題的具體方法稱為構造法。構造法作為一種數學方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步一步地導求必要條件，直至推斷出結論。它屬于非常規思維，其本質特征是“構造”。用構造法解決問題，無一定之規，表現出思維的試探性，不規則性和創造性。構造解決問題的活動是一種構造性的思維活動。其關鍵是借助對問題特征的敏銳觀察，展開豐富的聯想，構造出滿足問題條件的數學對象，使問題巧妙地獲得解決。

一、構造函數法：

這種方法就是構造出與原命題相符合且關系密切的函數，從函數的角度觀察、分析、解釋命題，溝通命題中條件與結論的內在聯系，從而使命題（或問題）得以解決。

例1、已知 ，求證： 。

思路：因為 與 的和為 ，其積為1。根據這兩數的結構形式，可構造函數： ， 與 是 =0的二根。

欲證原結論，只須證 即可。

二、構造恒等式：

在解某些數學問題時，需要構造一個恒等式作鋪墊，架起通向解題終點的“橋梁”。使問題迅速得以解決。

例2、已知 ，求分式 的值。

思路：待求值式實際上已暗示我們，應設法構造一個恒等式，使之能利用已有的結論：

三、構造數列：

在處理與自然數n有關的命題時，可根據題目提供的特征，通過替換，設想并構造出一個與欲解（證）問題有關的數列，并對該數列的特征進行分析，常?？梢杂纱颂綄こ鼋鉀Q問題的途徑。

例3、求證：

思路：這種類型的問題通常用數學歸納法來證，下面試用構造數列的方法來解。

由以上討論的幾種方法及例題可以看出，應用構造法時應注意以下幾點：

1、構造法是一種通過構造新的數學對象使原問題得以轉化，從而解決問題的一種方法，所以，構造物的結構形式應盡可能的簡單，以便于問題的解決，通過構造物這一媒介，應盡可能地使復雜問題簡單化。

2、構造方法解決問題的過程比較直觀，構造物必須是熟悉的，通過熟悉的構造物將難以入手的問題轉化為熟悉的問題。

3、構造法解決問題具有很大的靈活性，針對某一問題如何進行構造，必須有很扎實的數學基礎知識和數學經驗。

參考文獻：

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