兩個重要極限的推廣及應用

王煥男　孫文福

摘 要：極限在微積分中占有重要的地位，是微積分的基石。兩個重要極限是極限內容中的重點和難點。因此本文結合實例對其進行深入分析，來探究兩個重要極限的基本形式及其推廣應用。

關鍵詞：重要極限；推廣；應用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.09.200

0 引言

極限概念是微積分學的理論基礎，極限方法是微積分學的基本分析方法，掌握和運用好極限方法是學好微積分學的關鍵。在極限這部分內容的教學中，兩個重要極限是重點、也是難點。在極限計算、導數公式推導過程中，兩個重要極限占有極其重要的地位。兩個重要極限能夠簡化復雜的極限運算，使我們更容易深刻理解并記憶導數公式；進而體現了兩個重要極限的“重要性”。

1 兩個重要極限的基本形式及其推廣形式

極限貫穿了微積分的全部內容，是微分和積分的基石。利用兩個重要極限求極限是極限內容中的重點和難點。本文將通過實例對兩個重要極限及其推廣形式進行一些分析、歸納。

1.1 第一個重要極限的基本形式：

運用這個極限時，我們應注意以下幾點：

（1）分數線上面與下面的x要保持一致；

（2）x→0當時，分子、分母都趨于0，即型未定式；

（3）x可以是一個未知數，也可以是一個函數：如當時，有。因此，這一重要極限可以推廣為，其中Δ代表一個未知量。

1.2 第二個重要極限的基本形式：

運用這個極限時，我們應注意以下幾點：

（1）x可以是一個未知數，也可以是一個函數：

（2）括號內1后面的部分與括號外的冪次互為倒數，這個重要極限可以轉化為1∞這種未定式。

因此，這一重要極限可以推廣為或，其中Δ代表一個未知量。

2 兩個重要極限在微分學中的應用

極限在微分學中應用非常廣泛，其中導數定義就是由極限來定義的；而兩個重要極限則是推導一些重要極限的有力工具，比如三角函數和對數函數導數的推導。

以上實例說明運用兩個重要極限可以推導一些導數公式，而且有些時候必須用兩個重要極限求導數，比如（sinx）/=cosx等用其他方法很難求出。由此可見，在推導基本初等函數的求導公式的過程中，尤其是有關三角函數的求導過程中，兩個重要極限起到了非常關鍵的作用。兩個重要極限是初等函數求導過程中的紐帶；兩個重要極限是微積分學的基礎。 上面我們用兩個重要極限推導出了正弦函數、對數函數的導數公式；而所有初等函數都可以由這兩類函數和它們的反函數經過有限次的四則運算、復合而得到；因此，我們利用函數的四則運算、復合、反函數求導法則，由這兩類函數的導數可以推導出全部初等函數的導數；再根據積分與微分的互逆關系，就可以推導出基本積分表，進而我們可以計算初等函數的積分。

3 結束語

極限概念在微積分學中占有極其重要的地位；導數、定積分等許多微積分學中的重要概念都是建立在極限的基礎之上的。無論是在極限內容教學還是在實際應用中，兩個重要極限都占有特別重要的地位。本文在探討了兩個重要極限的基本特征的基礎上，給出了推廣形式。當然，兩個重要極限的應用不止這些。我們關鍵是理解其內涵，熟練的將其應用到現實生活中，創造它的價值。

參考文獻：

[1]吳贛昌.微積分（經管類·第四版）[M].第四版，北京：中國人民大學出版社，2011：52-55.

[2]華東師范大學數學系.數學分析上冊[M].第三版，北京：高等教育出版社，2001：87-91.

作者簡介：王煥男（1986-），女，黑龍江海倫人，碩士研究生，助教，主要從事：組合優化的研究。