兩個重要極限的推廣及應用

王煥男　孫文福

摘 要：極限在微積分中占有重要的地位，是微積分的基石。兩個重要極限是極限內(nèi)容中的重點和難點。因此本文結合實例對其進行深入分析，來探究兩個重要極限的基本形式及其推廣應用。

關鍵詞：重要極限；推廣；應用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.09.200

0 引言

極限概念是微積分學的理論基礎，極限方法是微積分學的基本分析方法，掌握和運用好極限方法是學好微積分學的關鍵。在極限這部分內(nèi)容的教學中，兩個重要極限是重點、也是難點。在極限計算、導數(shù)公式推導過程中，兩個重要極限占有極其重要的地位。兩個重要極限能夠簡化復雜的極限運算，使我們更容易深刻理解并記憶導數(shù)公式；進而體現(xiàn)了兩個重要極限的“重要性”。

1 兩個重要極限的基本形式及其推廣形式

極限貫穿了微積分的全部內(nèi)容，是微分和積分的基石。利用兩個重要極限求極限是極限內(nèi)容中的重點和難點。本文將通過實例對兩個重要極限及其推廣形式進行一些分析、歸納。

1.1 第一個重要極限的基本形式：

運用這個極限時，我們應注意以下幾點：

（1）分數(shù)線上面與下面的x要保持一致；

（2）x→0當時，分子、分母都趨于0，即型未定式；

（3）x可以是一個未知數(shù)，也可以是一個函數(shù)：如當時，有。因此，這一重要極限可以推廣為，其中Δ代表一個未知量。

1.2 第二個重要極限的基本形式：

運用這個極限時，我們應注意以下幾點：

（1）x可以是一個未知數(shù)，也可以是一個函數(shù)：

（2）括號內(nèi)1后面的部分與括號外的冪次互為倒數(shù)，這個重要極限可以轉化為1∞這種未定式。

因此，這一重要極限可以推廣為或，其中Δ代表一個未知量。

2 兩個重要極限在微分學中的應用

極限在微分學中應用非常廣泛，其中導數(shù)定義就是由極限來定義的；而兩個重要極限則是推導一些重要極限的有力工具，比如三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)導數(shù)的推導。

以上實例說明運用兩個重要極限可以推導一些導數(shù)公式，而且有些時候必須用兩個重要極限求導數(shù)，比如（sinx）/=cosx等用其他方法很難求出。由此可見，在推導基本初等函數(shù)的求導公式的過程中，尤其是有關三角函數(shù)的求導過程中，兩個重要極限起到了非常關鍵的作用。兩個重要極限是初等函數(shù)求導過程中的紐帶；兩個重要極限是微積分學的基礎。 上面我們用兩個重要極限推導出了正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式；而所有初等函數(shù)都可以由這兩類函數(shù)和它們的反函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算、復合而得到；因此，我們利用函數(shù)的四則運算、復合、反函數(shù)求導法則，由這兩類函數(shù)的導數(shù)可以推導出全部初等函數(shù)的導數(shù)；再根據(jù)積分與微分的互逆關系，就可以推導出基本積分表，進而我們可以計算初等函數(shù)的積分。

3 結束語

極限概念在微積分學中占有極其重要的地位；導數(shù)、定積分等許多微積分學中的重要概念都是建立在極限的基礎之上的。無論是在極限內(nèi)容教學還是在實際應用中，兩個重要極限都占有特別重要的地位。本文在探討了兩個重要極限的基本特征的基礎上，給出了推廣形式。當然，兩個重要極限的應用不止這些。我們關鍵是理解其內(nèi)涵，熟練的將其應用到現(xiàn)實生活中，創(chuàng)造它的價值。

參考文獻：

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[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析上冊[M].第三版，北京：高等教育出版社，2001：87-91.

作者簡介：王煥男（1986-），女，黑龍江海倫人，碩士研究生，助教，主要從事：組合優(yōu)化的研究。