數形結合未必是一劑良藥
——記一道例題數學片斷及反思

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數形結合未必是一劑良藥
——記一道例題數學片斷及反思

◇江蘇陳水青

數形結合思想是高中數學中一種重要數學思想,就是把數學中“數”和“形”結合起來解決數學問題的一種數學思想．數形結合具體地說就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來,使抽象思維與形象思維結合起來,通過“數”與“形”之間的對應和轉換來解決數學問題．在應用其解題中,主要有3種類型:以“數”化“形”、以“形”變“數”和“數”“形”結合．

1解答

f(x1)-f(x2)>2(x1-x2),

f(x1)-2x1>f(x2)-2x2.

令g(x)=f(x)-2x,則g(x)在R上單調遞增,所以g′(x)= 3x2+a-2≥0恒成立,所以a≥2.

解法3用到了構造函數的思想,把不等式作了一個等價變形,構造出g(x)=f(x)-2x,發現該函數單調遞增,所以g′(x)≥0恒成立，利用導數解得a≥2．

2探究

為什么解法1是錯誤的?

圖1

對于連續可導函數圖象上任意一條割線,必定存在1條與之平行的切線嗎(如圖1)?

答案是肯定的,實際上就是拉格朗日中值定理(中學階段不要求掌握)．

圖2

反之,對于函數圖象的任意一條切線,必定存在1條與之平行的割線嗎?

答案是否定的．

例如,函數f(x)=x3+2x(如圖2).其圖象上有1條切線y=2x,但是圖象上任取2點A(x1,y1)、B(x2,y2),過這2點的直線的斜率

不存在與切線y=2x平行的割線．

因此,割線的斜率k>2與導數f′(x)>2之間不是等價關系．對于函數圖象的任意一條切線,不一定存在與之平行的割線,例如切線y=2x;平行的切線、割線不一定一一對應,不能用導數代替割線斜率．通過對比以上3種解法,解法3更具有一般性,對大部分函數適用．

3反思

2) 教學過程中要注重通性通法、一題多解、多題一解、舉一反三、反三歸一訓練,努力培養學生的“6種能力、1個意識”,即運算求解能力、數據處理能力、空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、實踐能力和創新意識．現在高考比較重視的就是這種具有普遍意義的方法和相關的知識.教師在教學過程中千萬不要為了展示自己而刻意追求一些解題的特殊技巧,在教學中不能把它當作重點,否則會誤導學生.數學屬于思考型的學科,在數學的學習和解題過程中理性思維起主導作用,教學過程中要更多地注重“一題多變”(類比、拓展、延伸)、“一題多用”(即用同一個問題做不同的事情)和“多題歸一”(所謂“一”就是具有普遍意義和廣泛遷移性的、“含金量”較高的那些策略性知識),更多地注重思考題目的“核心”是什么,從題目中“提煉”反映數學本質的東西.掌握好數學模式題的通用方法.

4舉一反三

即

a>4x-x2=4-(x-2)2.

因為4-(x-2)2≤4,當且僅當x=2時,取“=”,所以a>4,所以a的取值范圍是(4,+∞).

f(x1)-f(x2)>4(x1-x2),

f(x1)-4x1>f(x2)-4x2.

(作者單位：江蘇省姜堰二中)