寶值(倍值)區間問題探究

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寶值(倍值)區間問題探究

◇山東王曉云蘇坤

近年高考中的函數題常出現以新定義為命題方向的信息型題目,給人以耳目一新的感覺,其中保值(倍值)區間問題具有一定的代表性.

保值(倍值)區間的定義:對于區間[a,b],若函數f(x)的定義域為[a,b]時,其值域也為[a,b],則稱該區間為f(x)的保值區間;若x∈[a,b]時,其值域為[ka,kb](k∈N*),則稱y=f(x)為“k倍值函數”,區間[a,b]為函數f(x)的“k倍值區間”．在具體的問題中,保值區間又有不同的表述形式,那么在解決具體的題目時,就要按照具體情況來分析．

1函數在定義域上單調遞增

2函數在定義域上單調遞減

①

②

由式①、②得

③

④

⑤

3函數在定義域上不具有單調性,在部分區間上具有單調性

圖1

函數在x=0處無意義,故a、b同號.又函數值域為[0,+∞),[a,b]?[0,+∞),故a>0,所以0?[a,b], 1?[a,b],故有0

綜上,不存在這樣的保值區間．

4倍值區間問題

函數保值(倍值)區間問題的實質是函數“不動點”“穩定點”問題,因此首先考慮函數單調性,進而轉化為對方程根的討論,或者利用數形結合思想轉化為函數圖象的交點問題來解決,在解決具體問題中要靈活應用數學基本思想轉化求解．

(作者單位：山東省壽光市壽光中學)