斜拉橋π型梁橋面板剪力滯效應的優化計算方法

趙傲，苗林，陳德偉

（同濟大學 土木工程學院，上海 200092）

斜拉橋π型梁橋面板剪力滯效應的優化計算方法

趙傲，苗林，陳德偉

（同濟大學 土木工程學院，上海 200092）

用能量變分法分析剪力滯作用時，一般認為截面腹板部分符合初等梁理論的平截面假定，截面的中性軸過形心軸，這種假定在箱型梁中基本適用，然而在π型梁超寬橋面板中，由于剪力滯的影響，橋面板被大大削弱，截面中性軸相對形心軸有較大偏移，在理論分析中無法忽略。文章考慮π型梁截面中性軸偏移，通過對辰塔大橋π型梁懸臂施工過程進行有限元模擬，解析解與數值解吻合良好，證實了該文的分析方法和假設是正確的，對T型梁及π型梁剪力滯效應研究提供參考。

混凝土斜拉橋；剪力滯效應；能量變分法

1 概述

橋梁結構中，主梁在對稱荷載作用下法向應力沿橫截面的分布是不均勻的，這種現象稱為剪力滯效應。用能量變分法分析剪力滯效應時，通過平截面假定和中性層假定，我們可以非常方便地表達截面上各點的應力應變，通常認為中性層恰好通過截面形心，然而，由于剪力滯效應對橋面板存在一定“削弱”作用，使得中性層與形心存在一定偏差，在箱型截面中，由于頂底板均存在剪力滯效應，這種偏差并不明顯，可以忽略；但是在開口截面如T型梁和π型梁中，橋面板中剪力滯效應引起的這種偏差無法忽略，在理論分析中必須加以考慮。

本文以上海辰塔大橋混凝土π型梁為對象，考慮中性軸偏移，運用能量變分法求解截面應力分布，同時利用Ansys進行有限元模擬，通過數值案例驗證本文所述分析方法的正確性。

2 計算基本假定

2.1 E.Reissner函數的確定

如圖1，斜拉橋主梁可看作受均布荷載與集中荷載共同作用而發生豎向撓曲變形的懸臂梁，若選取剪力滯效應引起的附加撓度作為剪力滯廣義位移，ψ（x）采用E.Reissner函數R（y）描述翼板縱橋向x方向位移在橫橋向y方向的分布[1]，定義梁的縱向整體位移u（x）及豎向撓度ω（x），截面上頂板及腹板的縱向位移可分別表示為：

圖1 π型梁截面及受力示意圖

應用能量變分方法分析時，采用E.Reissner函數描述翼板縱橋向（x方向）位移沿橫橋向（y方向）的分布曲線，假定為拋物線分布，符合實測結果[2]。由薄壁梁截面局部平衡條件得到多項式函數表達式[3]：

式中：b為翼板y方向凈寬的1/2；ab為主肋內側y方向距離的一半。

2.2 中性軸與形心軸偏移量

在梁的彎曲正應力分析過程中，存在兩個重要假設：平截面假定和中性層假設，通過這兩個假設，可以非常方便地表達截面內部應變，中性層與橫截面的交線即為中性軸，中性軸與形心軸重合[4]。

而在斜拉橋施工過程中，π型超寬橋面板在彎矩及斜拉索軸向分力作用下存在較為明顯的剪力滯效應，對橋面板起到一定的“削弱”作用，截面的中性軸與形心軸存在一定的偏移，橋面板越寬，剪力滯效應越明顯，中心軸與形心軸的偏移越大，由于中性軸引起的偏移在計算截面正應力的時候并不能忽視。引入函數z0表示截面形心在中性軸坐標系中的偏移量。

懸臂梁在對稱荷載作用下，梁截面內軸力為零，截面軸力平衡方程為：

其中ρ為曲率半徑，令質心在中性軸中的豎向坐標為z0，由式（2-4）可知：

由式（2-5），z0與主梁受彎曲率半徑、E.Reissner函數和剪力滯廣義位移ψ（x）有關，懸臂梁在受彎變形時各截面的曲率半徑可近似認為相等；剪力滯廣義位移ψ（x）的一階導數用于描述影響剪力滯效應的附加彎矩，研究表明，懸臂梁在均布荷載作用下的固定端到L/4范圍內為正剪力滯效應，端部集中荷載作用下全截面均為正剪力滯效應[5]，而能量變分法分析過程中必須保證在統一的坐標系內，因此偏安全地選取距固定端L/8截面處為全橋中性軸偏移量代表值。

3 變分方程推導及求解

3.1 基本變分方程的推導

根據位移方程，建立梁的力學幾何方程，翼板正應變及剪應變為：

腹板正應變：

根據胡克定律，建立翼板及腹板的力學物理方程，橋面板為平面應力狀態，則可得到翼板x方向應力，y方向應力，平面內剪應力和腹板方向應力：

式中：Ec為梁彈性模量；G為梁剪切模量；v為混凝土泊松比。

梁承受壓彎外荷載時的外力勢能：

式中：M及N分別表示作用在梁上的彎矩和軸力。

梁的體系應變能由翼板應變能和腹板應變能兩部分構成：

根據最小勢能原理，在外荷載作用下，結構處于平衡狀態。當有任何虛位移時，體系總位能的一階變分δ為零，即：，它相當于泛函

整理后得如下方程：

以A0、I0和Q0分別表示形心軸平面內雙主肋梁的整體截面面積、整體截面對y軸的慣性矩以及整體截面對y軸的靜力矩，其中； Q0=z0·A0；A0=Af·Aw，h與h′分別為橋面板和腹板中心到形心軸的距離。同時定義與E-Reissner函數R(y)相關的慣量定義：，，,則平衡微分方程及邊界條件（3-9）～（3-12）可以改寫為：

力學物理意義上，式（3-13）表示梁在z方向的平衡狀態，式（3-14）則表示梁在x方向的平衡狀態；式（3-15）表示由于剪力滯后效應導致翼板橫截面出現應力分布不均勻狀態，這種狀態在板截面內的自平衡；式（3-16）表示廣義剪力滯位移所需滿足的邊界條件。

3.2 承受自由端集中荷載的懸臂梁

考慮剪力滯后效應，對承受自由端集中荷載的懸臂梁，采用變分法推導的平衡微分方程加以推演。如圖1（b）所示的等截面懸臂梁，自由端作用集中荷載T，作用位置位于梁主肋，距離梁截面形心δ處，荷載方向與水平方向夾角為θ。集中荷載在Ox方向上的投影N=-Tcosθ,在Oz方向上的投影P=Tsinθ。梁上作用均布荷載q。

在懸臂梁的固定端，式（3-18）滿足邊界條件：ψ（x）=0；在懸臂梁的自由端（非固結），邊界條件滿足方程式（3-16）：由以上邊界條件，可以求得懸臂梁最大縱向位移差函數ψ表達式（3-18）中的系數：

整理方程（3-19）和方程（3-20），可以得到梁變形微分方程：

由式（3-21）與式（3-22）可見，考慮剪力滯后效應，梁的曲率-彎矩與線應變-軸力的關系已經不再符合歐拉-伯努利梁理論。在此，引入虛擬荷載來描述剪力滯后效應對結構的影響：附加彎矩；附加軸力。由于剪力滯后效應的影響，使得梁的有效剛度降低，增大了梁的變形。

結合式（2-5）與式（3-21），可知中性軸與形心軸偏移量:

由前所述z0選取L/8截面處為全橋中性軸偏移，而式（3-23）看出，z0的取值需要先計算剪力滯廣義位移ψ（x），而廣義位移ψ（x）的取值與z軸的選取無關，因此暫認為中性軸偏移z0=0，即在形心軸坐標系內計算ψ（x），從而求得L/8截面處z0=0.08m。

將式（3-18）代入表達式（3-21），經過兩次積分得到懸臂梁撓度曲線方程：

式（3-24）中的B1及B2為由懸臂梁固定端邊界條件所確定的待定系數：

將式（3-25）、（3-26）及對（3-24）求一階導數后，代入（3-24）式，便可以求得翼緣板的應力分布：

由式（3-27）便可以分析在壓彎荷載作用下，翼板截面應力的橫向分布規律。

4 數值算例

為了明確地了解懸臂施工階段斜拉索索力對主梁的剪力滯效應的影響，本文以辰塔大橋為研究背景。該橋為雙塔三跨單索面曲線矮塔斜拉橋(86m+160m+86m)，塔梁固結體系。橋面寬34.6m。主梁采用預應力混凝土π型梁截面。根據設計說明，模型中主梁材料C55混凝土的容重取25kN/m3，彈性模量E取值3.55×104MPa，泊松比取0.167。預應力鋼絞線彈性模量取值1.95×105MPa，一號索拉索張拉應力控制為3750kN。采用結構有限元計算軟件Ansys進行三維實體模型的建立和仿真分析，主梁采用實體單元，通過自動網格劃分形成有限元模型。主梁在塔根處截面固定約束。全橋有限元模型如圖2所示。

圖2 ANSYS有限元模型示意圖

在Ansys中利用PATH命令可得橋面板內特定截面內沿橫向分布的節點正應力[6]，同時利用式（3-27）計算橋面板正應力，進行對比分析。

圖3 懸臂梁L/8截面頂板應力比較

圖3分別列出了本文方法計算的頂板各點正應力與ANSYS有限元數值解，由圖中可以看出，本文方法計算結果與有限元結果基本吻合，說明了本文中關于E.Reissner函數和中性軸偏移的假設是正確的。

圖中紅線部分代表了不考慮中性軸與形心軸偏移的能量變分法的計算結果，若不考慮中性軸與形心軸偏移，剪力滯系數明顯偏小，同時在橋面中線部分頂板甚至出現了拉應力，這顯然與事實不符，考慮中性軸偏移的情況下，等效于添加了一個附加彎矩Nz0，使頂板正應力提高，進一步驗證了本文假設和計算結果的正確性。

圖4 懸臂梁在斜拉索及自重作用下撓度曲線

圖4給出了1號索三張索力作用及自重作用下按初等梁理論及本文方法求得的撓度曲線。從圖4可以看出，按本文考慮剪力滯效應的方法求得的撓度要明顯大于按初等梁理論（不考慮剪力滯效應）求得的撓度，這是由于剪力滯效應會使梁翼緣板的面內剛度降低，從而必然導致撓度增大。按初等梁理論求得的跨中撓度為4.73mm，剪力滯附加撓度為0.43mm，剪力滯效應使撓度提高的幅度達到9.1%?？梢?，剪力滯效應會顯著增大箱梁的撓度，工程實踐中必須認真對待。

當然，該算例的撓度提高幅度并不適用于其他π型梁。對于具有不同參數的π型梁，由于跨度和荷載條件的不同，剪力滯效應引起的形心軸偏移也不同。工程實踐中必須根據主梁具體截面尺寸和荷載條件計算剪力滯效應對撓度的提高。

5 結論

本文分析π型梁主梁剪力滯效應過程中，引入了剪力滯效應引起的中性軸偏移，假定翹曲位移函數和，建立了關于附加撓度的控制微分方程和邊界條件。以辰塔大橋主梁為對象進行的懸臂梁計算表明，解析解與數值解吻合良好，從而驗證了本文的理論分析方法和推導的公式是正確的。

以梁的彎曲理論為基礎，利用平截面假定和中性層假設，推導出形心軸與中性軸存在一定偏差，計算表明，考慮中性軸偏差能夠更加準確地描述主梁橋面板內的應力分布情況。

對集中荷載作用下懸臂算例的計算結果表明，剪力滯效應使撓度提高的幅度達到9.1%，對于具有不同參數的π型梁，由于跨度和荷載條件的不同，剪力滯效應引起的形心軸偏移也不同。工程實踐中必須根據主梁具體截面尺寸和荷載條件計算剪力滯效應對撓度的提高。

[1]E.Reissner.Analysis of shear lag in box beams by the principle of the minimum potential energy.Quarterly of Applied Mathematics, 1946，4(3)：268-278.

[2]張元海，康喜東，林麗霞.箱形梁剪力滯效應分析中的翹曲位移函數及廣義內力研究[J].計算力學學報，2012(6)：867-872.

[3]張士鐸，鄧小華，王文洲.箱型薄壁梁剪力滯效應[M].北京：人民交通出版社，1998.

[4]項海帆.高等橋梁結構理論[M].北京：人民交通出版社，2001.

[5]張士鐸，王文洲.橋梁工程結構中的負剪力滯效應[M].北京：人民交通出版社，2004.

[6]胡曉倫，陳艾榮.ANSYS路徑映射技術在結構分析中的應用[J].交通與計算機，2004(3)：86-89.

U442

A

1007-7359（2016）06-0107-04

10.16330/j.cnki.1007-7359.2016.06.041

趙傲（1990-），男，湖北仙桃人，同濟大學土木工程學院在讀碩士，研究方向：斜拉橋施工。