“度”與“渡”：基于小初銜接的小學數學教學

摘要：缺乏小初銜接的小學數學教學會導致學生升入初中后數學學習脫節。在小學數學教學中把握“度”與“渡”的策略是：找到知識的生長點，看到知識邁向初中的發展點，在高年級階段適當延伸教學內容，有意識地用小初銜接的“中間地帶”教法，幫助學生“渡”向遠方，接駁小學與中學。

關鍵詞：小初銜接;“度”與“渡”;小學數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）05B-0043 -04

在新課程背景下，如何立足小學，遠眺初中，做好小初銜接呢？

在小學數學的教學過程中，教師該把握好教學的“度”，找到當下知識的生長點，看到知識的發展點，在高年級階段適當延伸教學內容，拓展學生的數學思維，為初中的數學學習搭橋鋪路。同時，教師還應該把握好教學方法的“渡”，注重形象思維向抽象思維的過渡訓練。高年級階段，教師應在“算術與代數”“常量與變量”“算術解法與方程解法”幾個思維轉折點上多花些氣力，有意識地用小初銜接的“中間地帶”教法，幫助學生“渡”向遠方，接駁小學與中學。

下面就以“數與代數”的內容為例加以闡述。

一、用字母表示數：從“數量”的理解過渡到對“關系”的探討

筆者訪問初中數學教師得知，很多初一的學生對于含有字母的式子理解不夠到位，只要式子中有字母，做題的正確率就不高。從用字母表示數過渡到一般抽象的含有字母的代數式，是認知上的一個大飛躍，很多剛升入初一的學生適應不了這樣的思維轉化。

反觀小學課本，以蘇教版教材為例，五年級上冊“用字母表示數”單元安排了7道例題，分別列舉了用字母表示數和用字母表示式的問題模型。在整個單元學習內容中，包括了含有字母的式子以及代入計算和化簡形如ax+bx的式子。從小初銜接的角度看，在小學教學“用字母表示數”可按這樣遞進的脈絡進行教學：

（一）把握教學的“度”：用字母可以表示數

1.用字母表示任意的數

教學時，教師可以列舉四則混合運算中的運算律，如加法交換律：a+b= b+a，乘法結合律：ax bx c=ax（bxc），通過舉例讓學生感知：這里的字母a、b、c不管表示什么數，仍然符合運算律。用字母來表示運算律顯得簡潔明了，體現了用字母表示數的價值[1]。兩個例子讓學生體會到：字母可以表示任意的數。

2.用字母表示不確定的數

用字母真的可以表示任意的數嗎？

教師借鑒俞正強教師的教學，用一個信封，若干支粉筆為教具，先讓學生看見教師在信封里放了多少支粉筆，所以可以用確定的數字來表示，比如1、2、3等，再讓學生看不見教師在信封里放了多少支粉筆，因為不確定信封里粉筆的數量，所以只能用字母來表示這個不確定的數，比如字母a、b、c等。因為信封的容量有限，里面所裝粉筆的數量也是有限的，它一定大于0，同時又會小于信封的最大容量。簡單的教具，不簡單的教學方法，幫助學生理解：可以用字母表示不確定的數，且這個數有一定的取值范圍。進退有度，避免機械，為初中學習做鋪墊。

（二）指向銜接的“渡”：突出“關系”，強調“運算”

1.用含有字母的式子表示數量關系

首先，我們可以跟學生一起梳理出常見的數量關系式，如S=vt表示路程、時間和速度之間的關系，C=4a表示正方形的周長，S=a2表示正方形的面積等;再結合具體的實際問題得到一些數量關系，如書本例題2：甲乙兩地之間的公路長280千米，已經行駛了b千米，還剩下（ 280-b）千米。當學生理解了含有字母的式子所表示的數量關系后，教師需要讓學生明白：字母每取一個值，含有字母的式子就有唯一確定的值。這樣的教學讓學生感悟到：含有字母的式子表示的數量關系可以表示事物間的普遍聯系，突出“關系”。

2.用字母表示數參與運算

本單元教學要讓學生明白可以用字母來表示特定的未知數，雖然不知道x是多少，但是卻可以參與運算，強調運算。舉一個生活中的例子：已知一本練習本10元，但是一個文具盒的單價不知道，可以用字母x表示，買了這兩樣文具一共花了40元。那么就可以寫出式子：lO+x=40。算出x=30，文具盒是30元。

我們還可以在課堂中進行適當拓展：

（1）若a+b=6，求a+b+c=____

（2）若a+b=c.a+b+c=500 c=____

（3）-個等腰三角形如圖1所示。若等腰三角形周長為24，則a=

有了這樣的訓練，學生就能明白把未知的數看成x，且可以看成已知的數參與運算，強調“運算”。

在進行“用字母表示數”單元教學時，這樣四層遞進脈絡的教學安排不顯突兀，為初中學習代數式做了知識和思想觀念上的鋪墊。

二、負數：從“了解負數”過渡到“理解負數”

人教版數學教材七年級上冊第一單元“有理數”單元的目標是：理解有理數的意義，能用數軸上的點表示有理數;能借助數軸理解相反數和絕對值的意義。小學里對負數的總體教學要求定位為“了解”，了解負數的意義，會用負數表示日常生活中的一些量。

對比兩個學段的教學目標。小學階段，我們該如何把握好教材的“度”，如何設計好教學方法的“渡”，才能讓學生從“了解負數”順利過渡到“理解負數”呢？

（一）把握教學的“度”：夯實基礎，深度理解概念中的兩個關鍵點

1.負數和正數的根本屬性是表示意義相反的量

“意義相反—可分為兩類：一類是自然意義上的相反，比如收入與支出、盈利與虧損等;一類是人為規定的相反，比如零上溫度與零下溫度，海平面之上和海平面之下等[2]。很多版本的教材都是以溫度計來引入負數的，然后歸納總結：“正數和負數是一組意義相反的量。”

就學生而言，他們更容易理解基于生活經驗的自然意義的相反量。他們能理解收入100元，又支出100元，一收一支相互抵消了。玩游戲中，贏了3局，又輸了3局，一贏一輸相互抵消了。在教學中，我們需要補充一些生活中的例子，讓學生真正理解正數和負數是一對意義相反的量。

2.正確認識0所蘊含的“基準”意義

我們來看一道初一的數學題：

如圖2，A、B、C、D四個點在一條沒有標明原點的數軸上。

（1）若點A和點C表示的數互為相反數，則原點為____;

（2）若點B和點D表示的數互為相反數，則原點為____;

（3）若點A和點D表示的數互為相反數，請在數軸上表示出原點0的位置。

這道題考測的是學生對于“0”的分界點是否能靈活變通。反觀小學教材，關于0的分界點，書中是這么告知的：“通常，我們規定海平面的平均高度為0米。”這樣的告知學生真的能理解分界點的意義嗎？

我們是否可以進行這樣的拓展：

（1）想一想，小花的身高是130厘米，可以表示為一1厘米嗎？

（2）如果把“基準”定為135厘米，小花的身高可以表示為多少厘米？

（3）如果把小花的身高表示為+4厘米，你能想到什么？

（4）同樣是小花的身高，為什么有多種不同的表示方式？

圍繞小花身高這一問題情境，教師通過拓展，旨在讓學生明白：正數和負數的分界點不一定都是0。有些時候，“基準”是人為規定的，“基準”不同，同一個對象所表示的方式也不同。這樣的教學雖有些拔高，但還是可以實現的，其目標是指向初中的學習，實現小初無縫對接。

（二）指向銜接的“渡”：拓展外延，為學習有理數運算積累經驗

筆者和初中教師交流得知，有些初一的學生不知道負分數、負小數等基本概念，有些學生對于負數的絕對值理解較為困難。由此反推小學教學，在“負數”單元的學習中，教師應該充分利用數軸，把生活中的負數上升為純數學的理性表征，既幫助學生在小學階段的軌道里沖刺跑，又適當銜接初中的學習。

在“負數”單元中，例題4第一次出現數軸。

例題4

教師可以讓學生先在數軸上找到2和一2，引導學生發現：2和-2到0點的距離一樣長，一2和2是一對相反意義的數，然后，在數軸上找出更多表示意義相反的數，按照整數一小數一分數這樣的思路拓展延伸，讓學生知曉負分數、負小數這樣的數學概念。最后教師讓學生思考：-a 一定是負數嗎？借助數軸，數形結合，打破思維定式。

在單元練習中第二次出現數軸時，教學應該往 縱深處推進。 教師可以讓學生先想一想：4和-4哪個數更接近0？再觀察小青蛙在數軸上的運動軌跡：一只小青蛙從0開始，先跳到一2，再跳到-4，一共跳了幾格？有什么發現？教師啟發學生思考：在數軸上找到一個點，它到0點的距離是3，可能是哪個數？借助數軸，不斷拓展負數的外延，初步滲透絕對值相等概念和分類討論的方法，為初中學習有理數運算積累經驗[3]。

三、方程：從“算術思維”過渡到“代數思維”

教過大循環的教師都知道，小學生在學習方程時會出現的普遍問題：①不喜歡用方程來解決問題;②不知道設誰為未知數;③列出80+40=x這樣的方程。這些問題教師不能通過簡單的口頭糾錯來解決，必須深入分析，弄清楚學生為什么出現這些問題，再設計合理的教學過程讓學生體驗。學生在體驗中獲得理解，為升入初中后繼續學習方程做好鋪墊與銜接。

（一）把握教學的“度”：深度辨析易混淆的知識點

1.等式與算式

等號賦有多重意義，可以表示為經過具體運算后依次得到的結果，如：8x （4+2）=8×6=48，“=”表示結果是48;也可以表示為左右雙方的等價性[4]，如書本例題1中根據天平得到的x+50=150，2x=200這兩個等式，“=”表示天平的左右兩邊質量相等。因此，算式表示的是一個結果，而等式表示的是兩個量之間的相等關系，須有一個等量，也用“=”連接。

2.等量關系與數量關系

教學中教師可以枚舉學生熟悉的“行程問題”題型來幫助學生辨析“數量關系”和“等量關系”的區別。題目1：“從甲地到乙地，貨車每小時行60千米，4小時行完。甲乙兩地相距多少千米？”解決這類問題時，我們可以根據“速度×時間=路程”這個數量關系式來解答。同時，由于數量關系中的三個量是互逆的，還可以得到“路程÷速度=時間”和“路程÷時間=速度”另兩道數量關系式。題目2：“從甲地到乙地，貨車每小時行60千米，4小時行完。客車每小時行80千米，3小時行完。甲乙兩地相距多少千米？我們分析題意可知，兩輛車的速度和行駛時間都不同，但走的都是同一段路，“路程”一定，它是客車和貨車之間的一個等量，可以得到“貨車速度×貨車時間=客車速度×客車時間”這個等量關系式，由此讓學生感悟：數量關系是可以互逆的，而等量關系表示兩個量相等[5]。

（二）指向銜接的“渡”：根據等量關系列方程解決實際問題

1.找準等量關系，列出正確的方程

只有正確厘清了“等量關系”和“數量關系”，才能在解決實際問題時列出正確的方程。在教學中，教師需要讓學生經歷尋找實際問題中數量之間的相等關系一列出方程—解答方程這樣一個學習過程[6]。其中，尋找“等量關系”應該是課堂中的重點環節。“簡易方程”單元只列舉了四類不同的問題情境，教師還需要補充其他的問題模型，比如“行程問題”“工程問題”“銷售問題”等。每一種題型都要求學生“先找到等量關系，再列出方程解答”。 在小學階段，多花些氣力在尋找“等量關系”上，將來升入初中后，遇到復雜的實際問題，學生才能讀懂題目中的關鍵字詞，找準等量關系，列出正確的方程。

2.擇優比較，體會方程核心價值

在小學教科書中，題目之間的數量關系比較簡單，用算術方法都能求解，所以學生都不會主動選擇方程。在教學時教師可以用變式題組的方式來進行教學，讓學生體會到單有“算術”方法不夠，唯有“算術+方程”組合才能行天下，為升入初中后學生主動用方程求解做好學習方法上的鋪墊。

教師先出示題目1：“小明今年14歲，媽媽的年齡比小明年齡的3倍還少2歲，媽媽多少歲？”學生會不約而同地選擇算術解法。教師再出示題目2：“小明今年14歲，比妹妹年齡的2倍還少2歲，妹妹多少歲？”此時，學生可能會出現三種不同的解法。（14-2）÷2=6（歲），14÷2-2=5（歲），（14+2）÷2=8（歲）。通過討論分析，學生會發現這道題目需要畫出線段圖進行逆向思考，用算術方法解答很容易錯，如果用方程解會方便很多。教師繼續出示題目3：“小明爸爸現在的年齡是他30年前年齡的3倍，爸爸多少歲？”學生會不約而同地選擇用方程解。學生會發現，只要把題目中爸爸現在的年齡設為x，然后順著題意思考，就能找到題目中的等量關系，用方程解很方便。最后教師指出：算術方法是逆向思維，適合解答一部分題目;而方程方法是順向思維，適合解答更多復雜的題目，就像初中教材所說：“從算術到方程是數學的進步。”

小學數學從做題意義上講很簡單，但從奠基意義上講卻很不簡單。小學數學教師需要“胸懷九年”，擁有教小學、想初中的意識，了解學生學習的知識基礎，準確定位當下教學的“度”;同時，還需要“登高眺遠”，知曉學生學習的下一站，做好知識和方法的鋪墊，將學生“渡”向遠方，實現小初無縫對接。

參考文獻：

[1][2]張奠宙.小學數學教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018：29，66.

[3]斯苗兒.找準起點，基于學生的經驗展開教學[J].小學數學教育，2015（5）：27.

[4]鄭毓信.算術與代數的區別與聯系[J].小學教學研究，2011（19）：13.

[5]俞正強.種子課2.0-如何教對數學課[M].北京：教育科學出版社，2020：3.

[6]賁友林，基于模型思想的教材編寫與教學實施[J].教育視界，2016（2）：12.

責任編輯：石萍

作者簡介：葛善勤，南通市城中小學（江蘇南通，226001）教師。