淺談兩個重要的極限的換元法

[摘 要] 換元法在高等數(shù)學(xué)中是一種非常重要的思想方法。著重講解換元法在兩個重要的極限的廣泛應(yīng)用，對解題類型進行分類一一講解。

[關(guān) 鍵 詞] 兩個重要的極限；換元法；分類

[中圖分類號] G712 [文獻標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）36-0136-02

兩個重要的極限的應(yīng)用是本章的重點內(nèi)容。其換元思想也是定積分的換元積分法的思想，所以本學(xué)課的換元思想顯得特別重要。我們用口頭禪來說明換元法的思想：要變一起變，不變則不變。我們必須學(xué)生解釋說明要變的什么，不變是什么。在講述第一個重要極限時，教材利用函數(shù)的極限夾逼性只證明■■=1，而■■=1卻沒有證明。實際上要證明■■=1，就是利用換元法來證明。它的思路為：

設(shè)：t=-x，當(dāng)x→0-，則t→0+，

■■=■■=■■=■■=1。

從中我們要解釋說明：“要變”是變量t，“不變”是極限和函數(shù)。

一、講解■■=1的應(yīng)用類型的時候

1.■■=■（m≠0，n≠0）

設(shè)：t=mx，當(dāng)x→0，則t→0，

■■=■■■=■■■=■。

這樣我們就可以推廣其公式：■■=■。

例1.■■=■，■■=-■。

2.■xsin■=1（“∞×0”型未定式）

設(shè)：t=■，當(dāng)x→∞，則t→0，

■xsin■=■■sin t=■■=1

3.當(dāng)x→x0，則f（x0）→0，sin（f（x0））→0，有■■可以轉(zhuǎn)為■■類型。

例2.求■■。

解：

■■=■■=■■=■（x+1）■■

實際上，■（x+1）=1+1=2，要求■■的值，須求■■的值。設(shè)：t=x2-1，當(dāng)x→1，則t→0，

■■=■■=1。故■■=2×1=2。

例3.求■■。

解：■■=■■=■■=■cos■×■■=cos a×■■。

設(shè)：t=■，當(dāng)x→a，則t→0，

■■=■■=1。故■■=cos a。

二、講解■1+■x=e的應(yīng)用類型的時候

1.■1+■nx=■（m≠0，n≠0）

設(shè)：t=mx，當(dāng)x→∞，則t→∞

■1+■nx=■■=■■=■

例4.■1-■x=■1+■（-1）× （-1）=e-1，■1+■3x=■■=e6。

2.推導(dǎo)其公式：■■=e。

設(shè)：t=■，當(dāng)x→∞，則t→0

■1+■x=■■=e

于是我們就可以推廣其公式：

■■=■■=■■=■。

例5.■■=■■=e-5，

■■=■■=■。

3.當(dāng)x→∞時，g（x）→∞，則■1+■g （x）=e，

或當(dāng)x→x0時，h（x0）→0，則■■=e。

例6.求■1+■4x+3

解：設(shè)：t=4x+3，當(dāng)x→∞，則t→∞，

■1+■4x+3=■1+■t=e。

例7：■（1+3tan x）cot x

解：設(shè)：t=tan x，當(dāng)x→0，則t=tan x→0，cot x=■=■，

■（1+3tan x）cot x=■■=■■=e3。

4.用在冪指函數(shù)u（x）v （x）=■kx：■1+■x=■■x=e，我們把■x稱為冪指函數(shù)，則■■kx=■（m≠0，k≠0）。

■■kx=■■kx=■1+■kx=■1+■kx

設(shè)：t=■，x=■-■，當(dāng)x→∞，則t→∞，

■1+■kx=■■=■■×■■

又因為■■=■，■■=1（-■為常數(shù)），

即■■=■■×■■=■。

例8.■■x=e（-3）- （-5）=e2，■■2x=e2× （2-1）=e2

■■x=■=e-2。

于是我們推廣到：■■kx+b=■。

例9.■■6x+1=e6× （4- （-1））=e30。

參考文獻：

[1]王寶艷.高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京交通大學(xué)出版社，2013.

[2]費定暉.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（一）[M].濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

[3]張先榮.淺談兩個重要的極限的重要性及應(yīng)用[J].濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2013，26（3）：149-151.