工科數學分析課程教學改革的實踐

[摘 要] 工科院校數學分析課程是應用數學類專業的必修課，課程難度大，教學改革勢在必行。通過介紹MATLAB軟件的兩個工具包在輔助數學分析課程教學中的應用，探索了數學分析教學改革中使用數學軟件的可行性。

[關 鍵 詞] 數學分析；教學改革；MATLAB；符號運算

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）36-0114-02

一、背景介紹

數學分析課程是地方工科院校信息與計算科學專業、統計學專業、應用數學專業的主干課程之一，對學生的培養有著重要的意義。但是該課程學習難度大，教學難點多，給很多學生帶來了相當大的困擾，因此數學分析課程改革勢在必行。MATLAB軟件是The MathWorks公司開發的一款數學軟件，是國際科學界應用和影響最廣泛的三大計算機數學語言之一，具備強大的科學計算能力，功能幾乎涵蓋全部數學分支。基于該特點，在數學分析課程的教學改革過程中，可以使MATLAB軟件在多方個面輔助教學。

二、使用MATLAB的圖形功能輔助數學分析課程教學

在數學分析課程教學過程中，若有直觀、清晰、準確的圖形輔助，很多教學內容的教學難度都會降低，例如數列（函數）極限的演示、割線對切線的逼近、定積分（重積分）的定義、函數的單調性、凹凸性和極值問題、隱函數求導問題、曲線曲面積分問題的演示等，本文僅以隱函數求導和曲線積分問題涉及的圖形演示為例加以說明。

（一）隱函數圖形繪制

求隱函數圖形上某點切線的斜率是數學分析課程中的常見問題，單純地使用隱函數求導法則雖然能夠解決問題，但不夠直觀，不利于學生的理解和掌握。MATLAB軟件的圖形繪制功能可以幫助教師為學生演示無法用描點法繪制的隱函數圖像：

例1.繪制隱函數y-x-εsiny=0，（0≤ε≤1）的圖像。

為了演示參數ε取不同值時，函數圖像的變化，可以將圖片分割為多個部分分別繪制不同的曲線，只需要在MATLAB軟件的Command Windows中輸入下述命令：

subplot（2，2，1）；ezplot（‘y-x-0.3*sin（y）’）；

subplot（2，2，2）；ezplot（‘y-x-0.5*sin（y）’）；

subplot（2，2，3）；ezplot（‘y-x-0.7*sin（y）’）；

subplot（2，2，4）；ezplot（‘y-x-sin（y）’）；

即可得到圖像：

■

■

■

■

例2.繪制隱函數arc tan■=ln■的圖像。

類似的，在Command Windows中輸入下述命令即可，

>>clc

>>clear

>>hold on

>>ezplot（’atan（y/x）-log（sqrt（x^2+y^2））’）

■

（二）極坐標圖形繪制

極坐標在數學分析中有廣泛的應用，與直角坐標相對比，極坐標下的圖像更加復雜，難以在頭腦中形成直觀圖形，借助

MATLAB軟件，我們可以繪制復雜的極坐標圖像。

例3.繪制r2=■的圖像。

在Command Windows中輸入下述命令即可，

>>clc

>>clear

>>hold on

>>thta=0：.1：2*pi；

>>r=sqrt（2*1^2./（2-（sin（2*thta））.^2））；

>>polar（thta，r）

■

三、使用MATLAB的符號運算功能輔助數學分析課程教學

（一）一元函數（數列）的極限

一元函數極限的計算是數學分析課程中的基本問題之一，是眾多結論的基礎，借助MATLAB軟件的符號計算功能，我們可以求解復雜函數的極限問題，為課程學習提供幫助。

例4.求極限■。

在Command Windows中輸入下述命令，

>>syms x a b

>>y=（1+a*x）^（b/x）；

>>L=limit（y，x，0）

即可求出含參數和的結果：

L=

exp（a*b）

需要注意的是，MATLAB有強大的符號計算功能，但是多元函數的極限問題不能簡單轉化為一元函數極限問題的嵌套，因此并不能直接求解多元函數極限問題。

（二）一元函數定積分問題

一元函數積分學是數學分析課程中一個非常重要的部分，應用廣泛，不過積分問題的求解難度遠大于微分問題，眾多的求解技巧是教學的重點之一，MATLAB提供了不定積分和定積分問題的求解工具，為積分的應用提供了簡單的解決方案。

例5.I（t）=■■dx。

這是一個有理函數積分問題，部分分式展開是常用的求解技巧，求解方法思想簡單，但過程繁瑣，是學習者比較頭疼的問題，下面我們嘗試使用MATLAB求解該問題：

>>syms x

>>y=（-2*x^2+1）/（2*x^2-3*x+1）^3；

>>I=int（y，x）

I=

-2/（x-1）+2/（2*x-1）+1/2/（x-1）^2+2*log（2*x-1）+1/（2*x-1）^2-2*log（x-1）

四、結語

根據地方工科院校的教學大綱和培養方案，考慮到學生未來的工作特點和邏輯推理、抽象思考能力較弱的客觀事實，數學分析課程作為應用數學專業和計算機科學專業的主干必修課，學習時間長，教學和學習難度大，其教學改革要兼顧兩方面內容，一是要傳授經典數學理論知識，提高學生數學素養，為后續課程的學習做好必要準備，二是要強調對經典數學理論的應用，傳授計算技巧，增強學生解決問題的能力。MATLAB軟件雖然功能強大，可以解決數學分析課程中眾多的問題，并在實際問題的求解過程中發揮著重要作用，但是在本科學習階段，其本質上仍是輔助教學的手段之一，不能喧賓奪主，過分強調對MATLAB的應用，而忽略了經典數學理論的傳授。

參考文獻：

[1]詹再東，李建華.MATLAB在數學分析中的應用[J].洛陽師范學院學報，2005（2）.

[2]鄧宇龍.基于MATLAB的數學分析極限概念教學實踐[J].大學數學，2014（1）.

[3]薛定宇，陳陽泉.高等應用數學問題的MATLAB求解[M].清華大學出版社，2013.