新課標卷高考數學中球的問題探源

2015年，《全國高考新課標數學考試大綱》解讀：高中立體幾何要求培養學生的空間想象能力和運算能力，通過識圖、畫圖和對圖形的想象，形成對空間形式的觀察、分析、抽象的能力。識圖是指觀察并研究所給圖形幾何元素之間的相互關系，研究過程中要有一定的推理；畫圖是指以文字語言或符號語言形式表述的內容，轉化為圖形語言，在此過程中需要對圖形添加輔助線、面，或者對圖形進行一些變換；而圖形的想象對學生的要求更高，需要在沒有圖形的情況下設想圖形。

解題原理

立體幾何中球的問題是高考試題中一個必備的考點，以考查學生空間想象能力為主線，結合邊角關系、位置關系、面積與體積的計算，從而體現出學生應該具備的對空間幾何體的理解與認識。在此類題目中，涉及到多面體與旋轉體相關的知識，其中旋轉體的作圖有著較高的難度。筆者重點研究多面體與球的接與切的問題。此類問題的源頭在于學生對球體與兩類特殊幾何體：正方體和正四面體與球的接、切問題的理解，搞清楚上述問題，就具備了解決一系列問題的基本思路。

正方體與球的接切問題，結合球體與正方體的幾何特征，外接球的直徑是體對角線長，故半徑（為正方體棱長）；內切球的直徑是棱長，故半徑；與各棱相切的球的直徑是面對角線長。

正四面體與球的接切問題，可通過線面關系證出，內切球與外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即定有內切球的半徑（為正四面體的高），且外接球的半徑。

上述兩個問題主要體現以下幾點：①空間問題嘗試向平面進行轉化，如恰當做出截面，建立多面體基本量與球半徑（直徑）之間的等量關系；②化歸到平面圖形后，注重直角三角形的構造與勾股定理的使用；③注重平時發現的一些重要結論，需強化記憶；④注重知識與知識的聯系，如一個正四面體有一個外接球，一個內切球和一個與各棱都相切的球。那么，這三個球的球心及半徑與正四面體有何關系呢？為了研究這些關系，筆者利用正四面體的外接正方體。正四面體的外接球即為正方體的外接球，只要分辨清楚正方體棱長與正四面體棱長之間的關系，即可較簡單地解決問題；另外，與正四面體各棱都相切的球即是正方體的內切球，此兩球的球心都在正方體的中心，在正四面體的高的一個靠近面的四等分點處。

例題解析

帶著上述思路和方法，可以探究高考當中的一些問題。例1（2008年福建省卷15），若三棱錐的三個側棱兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是 ？該題用一般解法：需作出棱錐的高，然后再設出球心，利用直角三角形計算球的半徑得解。若發現三條側棱兩兩垂直，聯想正方體的一個角，構造正方體模型與三棱錐共有的外接球，直徑即為體對角線可得解：，。變式：①若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是；②在四面體ABCD中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為1、、3，若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。（16π）

例2（2012年高考遼寧文科），已知點P、A、B、C、D是球O表面上的點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2正方形。若PA=2，則△OAB的面積為 ？解析：點P、A、B、C、D為球O內接長方體的頂點，球心O為該長方體對角線的中點，的面積主該長方體對角面面積的，，，，的面積。

例3（2014高考大綱卷文第10題），正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積是（ ）？解析：由已知條件可知球心在正四棱錐的高上，設球的半徑為R，球心為O，正四棱錐底面中心為為E，則OE垂直棱錐底面，OE=4-R，所以（4-R）2+=R2，解得R=，所以球的表面積S=4πR2=。本題恰當找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑。此處應注重通法的使用，即在正棱錐問題中通過找截面，把空間問題向平面幾何問題進行轉化。變式：正四棱錐S-ABCD底面邊長和各側棱長均為2，點S、A、B、C、D都在同一球面上，求此球的體積。（）

例4（2015年新課標卷Ⅱ第10題），已知A、B是球O的球面上兩點，，C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為 ？解析：ΔOAB可以確定一個截面圓（大圓），當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為R，此時，故R=6，則球O的表面積為。本題以球為背景考查空間幾何體的體積和表面積計算，要明確球的截面性質，正確理解四面體體積最大時的情形，屬于中檔題。特別提出，對于文科學生，聯系地理學科中極點到赤道平面的距離是最遠的，可以降低本題的抽象程度。變式：直角梯形ABCD，滿足AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，現將其沿AC折疊成三棱錐D-ABC，當三棱錐D-ABC體積取最大值時其外接球的體積為。

（作者單位：內蒙古呼和浩特市第一中學）