回歸本原，獨(dú)出機(jī)杼

金華市深化義務(wù)教育課程改革研討會在金師附小舉行。顏君敏老師和楊凱明老師分別執(zhí)教的“植樹問題”，以主題鮮明的思想引領(lǐng)、獨(dú)具匠心的課堂設(shè)計(jì)、扎實(shí)有效的知識建構(gòu)卻截然不同的教學(xué)方式，向我們演繹了兩種模型的植樹問題，引發(fā)我們的思考。

顏老師執(zhí)教的植樹問題從拍手游戲入手，滲透一一對應(yīng)的思想。針對問題情境“20米的道路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共可以栽多少棵樹？”讓孩子在自主探索中建立“兩端都種，棵樹=間隔數(shù)+1”“只種一端，棵樹=間隔數(shù)”與“兩端都不種，棵樹=間隔數(shù)-1”三種數(shù)學(xué)模型。之后變化問題情境，將所學(xué)知識加以應(yīng)用。生在解決實(shí)際問題時(shí)，一般都會想到做除法，然后根據(jù)題意理解屬于三種模型中的哪種模型，從而決定是否要加1或者減1。

但是，在自己執(zhí)教后會發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在很多問題情境隱藏“兩端種與不種”的明顯提示語。部分孩子在實(shí)際解決問題時(shí)，往往很難提煉具體題意，造成錯(cuò)誤。

恰好相反，楊凱明老師從研究“點(diǎn)與段”的關(guān)系上向我們展示了植樹問題的另一基本模型，讓我們從新的方面重新審視植樹問題的“原”是什么？他是從以下幾個(gè)方面展開：

【片段一】解決問題1

20米長的線段，每5米分一段，可以分成幾段？

生：20÷5=4（段）

師：為什么用除法？

生：平均分。

師：幾米一段？分成幾段？

生：5米一段，分成4段。

師：你能把我們剛才的想法用線段圖表示出來嗎？

思考：從解決段數(shù)問題入手，讓學(xué)生理解除法就是平均分，而除法是解決“植樹問題”的數(shù)學(xué)方法。引導(dǎo)孩子畫線段圖，為理解點(diǎn)數(shù)與段數(shù)做鋪墊。

【片段二】解決問題2

在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共需要栽多少棵樹？

⑴生獨(dú)立思考。（反饋出現(xiàn)4棵或5棵的情況。）

師：你猜，我會怎么和大家講這道題？

生：畫線段圖。

思考：其實(shí)這樣的問題，對現(xiàn)在的孩子，特別是部分在課外接觸數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的孩子來說，再熟悉不過了，而且學(xué)生會很理性地告訴你，當(dāng)兩端都種，一端種，兩端都不種該怎么解決。但楊老師充分尊重孩子已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，沒有急于總結(jié)，而是讓學(xué)生猜一猜，該怎么講這道題，課堂氣氛很放松。學(xué)生也自然而然想到課初始老師引導(dǎo)畫線段圖的方法。

⑵用線段圖分析題意

20÷5=4（段） 4+1=5棵

問：為什么要加上1？

生：分成4段，邊上還要再種一棵，就是5棵。

師：從線段圖上看，樹是種在哪里的？

生：點(diǎn)上。

思考：此時(shí)，楊老師并沒有根據(jù)學(xué)生的種種情況展開教學(xué)，并總結(jié)三種傳統(tǒng)模型，而是借助線段圖，抓住段與點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)一步研究，理解樹種在點(diǎn)上。

⑶研究段數(shù)與點(diǎn)數(shù)的關(guān)系

師：4段有5個(gè)點(diǎn)。1段有幾個(gè)點(diǎn)？

生：2個(gè)。

師：2段有幾個(gè)點(diǎn)？

生：3個(gè)。

師：3段有幾個(gè)點(diǎn)？

生：4個(gè)。

師：點(diǎn)數(shù)與段數(shù)有什么關(guān)系？

生：點(diǎn)數(shù)=段數(shù)+1。

思考：在研究點(diǎn)與段的關(guān)系中，總結(jié)規(guī)律：點(diǎn)數(shù)=段數(shù)+1。

⑷鞏固應(yīng)用

師：如果我把“全長20米小路”改成“30米”，一共要栽多少棵樹？

生：30÷5=6（段）6+1=7（棵）

師：35米呢？

生：35÷5=7（段）7+1=8（棵）

師：那“40米”、“100米”呢？

思考：從除法的意義入手，結(jié)合學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，引申出植樹問題。將樹放在點(diǎn)上，解決棵樹問題其實(shí)就是理解點(diǎn)數(shù)與段數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵就是求幾個(gè)點(diǎn)。

“植樹問題”的這兩節(jié)課，一堂是我們常見的經(jīng)典課，一堂是創(chuàng)新課。經(jīng)典的課是很多人智慧的結(jié)晶。它已經(jīng)形成一種模范，這類問題一般就這樣去思考，去教學(xué)。當(dāng)然，也包括我自己也是這樣和我們班的孩子一起這樣探究的。而楊老師演繹的版本是在經(jīng)典基礎(chǔ)上的創(chuàng)新，體現(xiàn)在以下幾個(gè)角度：

首先，立意在已有數(shù)學(xué)知識。“植樹問題”并不是橫空出世的，它的根源就是除法的意義運(yùn)用。楊老師沒有直接從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，從模型中去教學(xué)，從直觀的圖中去尋找，而是從除法的意義入手，通過除法的意義，發(fā)現(xiàn)段數(shù)與點(diǎn)數(shù)的關(guān)系：點(diǎn)數(shù)比段數(shù)多1。這是一個(gè)生活事實(shí)，更是一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，以此來進(jìn)行變式。

其次，找準(zhǔn)知識生長點(diǎn)和衍伸點(diǎn)。“植樹問題”的知識生長點(diǎn)就是利用點(diǎn)數(shù)與段數(shù)的關(guān)系，點(diǎn)數(shù)必須比段數(shù)多1，找到“兩端都種”這一基本模型，楊老師沒有將以往的三種模型放在同等的位置進(jìn)行教學(xué)。而是講究先后，先理解兩端都種的事實(shí)，再出示變式。變式中點(diǎn)還是在，只是點(diǎn)被占了。占據(jù)一個(gè)點(diǎn)就減1，占了兩個(gè)點(diǎn)就減2。這樣學(xué)生很快可以先求出點(diǎn)數(shù)，一端不種-1，兩端不種-2。

在聽完楊老師的課后，回到學(xué)校，我重新和我們班的孩子一起研究了“植樹問題”的相關(guān)問題。課后，我們班的孩子告訴我：“胡老師，這種新的方法好簡單啊，一下子就可以理解了，而且不會搞混。”特別原先因?yàn)楣嚼斫獠簧羁蹋粫r(shí)分不清用哪個(gè)公式的孩子也大大提高了解題效率。

而另一生長點(diǎn)就是平均分。楊老師課開始“20米長的線段，每5米分一段，可以分成幾段？”教學(xué)時(shí)就追問孩子：“為什么用除法？”“因?yàn)橐骄帧薄Ｕ谜n是對平均分內(nèi)涵的豐富。

《北史·祖瑩傳》寫道：“作文須自出機(jī)杼，或一家風(fēng)骨，何能共人同生活也。”數(shù)學(xué)教學(xué)亦是如此。隨著多媒體手段的日新月異，家長的素質(zhì)也越來越高，很多知識，家長會提前教授給孩子。對于這部分知識，老師怎樣才能授出新意，讓孩子不僅知其然還要知其所以然。這就需要我們對書本上的每個(gè)知識點(diǎn)追本溯源，理清來龍去脈，從而讓學(xué)生更好地進(jìn)行融會貫通。